2018 Fiscal Year Annual Research Report
Quantum walks from a view point of discrete geometric analysis
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25400068
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
楯 辰哉 東北大学, 理学研究科, 教授 (00317299)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 量子ウォーク / 周期的ユニタリ推移作用素 / 局在化 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
最終年度は，引き続き周期的ユニタリ推移作用素の性質について研究した．周期的ユニタリ推移作用素という，扱いやすいクラスのユニタリ作用素を導入したが，これは砂田利一氏が考察していた，一般の結晶格子上の関数空間に作用する，被覆変換群の作用と可換なユニタリ作用素と等価であることがわかった．等価という意味は，周期的ユニタリ推移作用素を与えた場合，そのステップ集合から結晶格子とその上のユニタリ作用素で，与えた周期的ユニタリ推移作用素と新しく得られたユニタリ作用素がユニタリ同値であるだけでなく，intertwining 作用素が，それらの定める量子ウォークも関連づけている，という意味で等価である．この内容はどこにも記述していない．数年前に執筆した投稿中の論文があるが数年経ったにも関わらずレポートが来ていないため，一旦取り下げて新たに書き直す予定であるが，その際に盛り込むこととした．
研究期間の初期段階では無限二面体群の正則表現と１次元斉次量子ウォークの関係とベキ乗公式，ハミルトン作用素の導出を行なった．その後周期的ユニタリ推移作用素を導入し，そのスペクトル構造を調べた．結果，周期的ユニタリ推移作用素の連続スペクトルは絶対連続であるという結果が得られた．これにより周期的ユニタリ推移作用素によって定義される量子ウォークの局在化現象は固有値の存在によって引き起こされ，それ以外に局在化を起こす要因はないことが分かった．この結果を使用して２次元のフーリエ型ユニタリ推移作用素，一般次元のグローバー型ユニタリ推移作用素の局在化現象を体系的に調べた（小松尭（横国大）との共同研究）．また，X.Luo（湖南大学）と共同で単体複体上のグローバーウォークを定義しそのスペクトル論的な性質と単体複体の位相幾何学的な性質の関連を調べた．なお，１次元量子ウォークの半古典解析を確立することは今後の課題として残されている．
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