2014 Fiscal Year Research-status Report
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25400070
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| Research Institution | Kyoto Institute of Technology |
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Principal Investigator |
井川 治 京都工芸繊維大学, 工芸科学研究科, 教授 (60249745)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | 対称三対 / エルミート対称空間 / 複素旗多様体 / 標準形 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
コンパクトリー群上に対合（より一般には自己同型写像）が付随していると，そのコンパクトリー群自身にシグマ作用と呼ばれる超極作用が定義される．コンパクトリー群が古典型の単純リー群のとき，対称三対を利用して，シグマ作用の軌道空間や個々の軌道の性質が調べられることがわかった．これにより対称三対の適用範囲が広がった．結果を口頭発表すると共に論文としてまとめ公表した．最近，コンパクトリー群が古典型でなくても単純ならば，対称三対を利用して，シグマ作用の軌道空間や個々の軌道の性質が調べられる
ことがわかった．
対称三対を利用して，コンパクト型エルミート対称空間の正則等長変換の不動点集合が離散的になるための条件と離散のときの不動点集合の決定，二つの実形の交叉が離散的になるための条件と離散なときの交叉の決定，実形の交叉と正則等長変換の不動点集合の関係について調べることができた（筑波大学 田崎博之，東京理科大学 田中真紀子と共同）．結果を口頭発表すると共に，共著論文としてまとめ受理された．実形の離散的な交叉は二点等質という非常に美しい構造を持つことがわかった．この結果は複素旗多様体内の二つの実旗多様体の交叉に拡張できることがわかり，得られた結果を日本数学会で発表した
(広島大学 奥田隆幸，首都大学東京 酒井高司，茨城大学 入江博，筑波大学 田崎博之と共同)．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究の方向は当初計画していたものと異なるものになったが，対称三対が実形の交叉に使えるという予想外の成果が得られた．
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| Strategy for Future Research Activity |
得られた結果で論文としてまとめていないものを論文としてまとめ公表する(シグマ作用に関するもの．複素旗多様体内の二つの実旗多様体の交叉)．
研究代表者の定義した対称三対について 1. 基礎理論の整備，2. 適用範囲の拡大，3. 応用を試みる．
1. コンパクト対称三対の定める二つの佐武図形から重複度付き対称三対の情報を読み取る研究を行う．この研究は，対称対の局所同型類は佐武図形で定まるという結果の拡張に当たる．また，コンパクト対称三対の定める二つの対合が可換に取り換えられるかどうかを，二つの佐武図形から読み取る判定条件を調べる．この研究は広島大学 奥田隆幸，福島高専 馬場蔵人とともに行う．これに関しては既に研究が進んでおり，年度内に完成する予定である．
2. コンパクトリー群に対合ではない一般の自己同型写像が付随しているとき，この自己同型写像から定まるシグマ作用は超極作用にはなるが，軌道空間や個々の軌道の性質を調べることはやさしくない．そこで，その中でも簡単と思われるコンパクトリー群が8次の特殊直交群で自己同型写像が三対原理から定まる位数3の自己同型写像の場合について, 軌道空間や個々の軌道の性質について調べる．この場合には対称三対が使えることは期待できないが，非可換Hermann作用について調べる出発点となるべきものであり，この問題は非常に興味深い．
3. コンパクト対称対について，対称部分群のワイル群は外のコンパクトリー群のワイル群の部分群になるということが最近示された．このことは非自明であるが，対称三対の議論とweakly normal involutionのそれとを組み合わせることにより証明できた．この結果はコンパクトリー群内の全測地的部分多様体の分類に応用できる．法政大学 間下克哉，広島大学 奥田隆幸と共同により，この研究を進める予定である．
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[Presentation] 対称三対の基礎と応用2014
Author(s)
井川 治
Organizer
日本数学会秋季総合分科会 幾何学分科会 特別講演
Place of Presentation
広島大学
Year and Date
2014-09-24 – 2014-09-28
Invited
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