2014 Fiscal Year Research-status Report
対称空間内の部分多様体と平均曲率流の無限次元幾何及び複素化を利用した研究
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25400076
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| Research Institution | Tokyo University of Science |
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Principal Investigator |
小池 直之 東京理科大学, 理学部, 教授 (00281410)
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2013-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 等径部分多様体 / 平均曲率流 / 対称空間 / 無限次元部分多様体幾何 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
無限次元ヒルベルトリー群のある種の余等質有限な概自由な等長作用をもつ無限次元ヒルベルト空間内の、その作用により不変な超曲面を初期データにもつ(正則化された)平均曲率流の研究を推進し、前年度までにその平均曲率流に沿ういくつかの基本的な幾何学量が満たす発展方程式を得、さらに、それらの発展方程式を用いてこの平均曲率流に沿ってある種の強凸性条件が保存されることを示した。この作用の軌道空間は有限次元オービフォールドであり、この研究はそのオービフォールド内のオービ超曲面を初期データとしてもつ平均曲率流の研究に適用される。本年度、この研究を以下のように推進させた。上述のある種の強凸性条件を満たす不変な超曲面を初期データにもつ平均曲率流が有限時間でその群作用の一つの軌道に崩壊することを示すための道筋を構築することができた。
一方、対称空間内の部分多様体および平均曲率流をはじめとする曲率流の研究を、以下のように推進させた。
1. コンパクト型対称空間内のホロノミー不変な非等方的エネルギー汎関数に関する研究を推進させた。具体的に、非等方的チューブという概念を導入し、ある種の鏡映部分多様体上の非等方的チューブが非等方的等径部分多様体になることを示した。
2. コンパクト型および非コンパクト型対称空間内の最大次元の平坦切断をもつある種の完備部分多様体の主曲率の一定性（平行性）を示し、さらに、この事実を用いて、その部分多様体が等径部分多様体であることを示した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本年度中に、無限次元ヒルベルトリー群のある種の余等質有限な概自由な等長作用をもつ無限次元ヒルベルト空間内の、その作用により不変な超曲面を初期データにもつ(正則化された)平均曲率流に沿うある種の崩壊定理を示すための道筋を構築することができた。
また、コンパクト型対称空間内のホロノミー不変な非等方的エネルギー汎関数に関する研究において、非等方的チューブという概念を導入し、それを用いて非等方的等径部分多様体の例を構成することができた。さらに、コンパクト型および非コンパクト型対称空間内の最大次元の平坦切断をもつある種の完備部分多様体の主曲率の一定性（平行性）を示すことにより、その部分多様体が等径部分多様体であることを示すことができた。
その他、対称空間内の平均曲率流および取り囲む体積を保存する平均曲率流に関するいくつかの研究の基礎固めをすることができた。
以上のように本年度の研究計画の内容を、ある程度、達成することができた。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後、無限次元ヒルベルトリー群のある種の余等質有限な概自由な等長作用をもつ無限次元ヒルベルト空間内の、その作用により不変な超曲面を初期データにもつ(正則化された)平均曲率流に沿うある種の崩壊定理の証明を完成させる予定である。また、コンパクト型対称空間内の平均曲率流および取り囲む体積を保存する平均曲率流に関する以下の研究を推進させる予定である。
1. コンパクト型対称空間内のSoap bubbleの取り囲む領域の体積を保存する平均曲率流を用いた研究。
2. コンパクト型および非コンパクト型対称空間内の取り囲む体積を保存する平均曲率流に沿うcurvature-adapted性の保存性定理の研究。
3. コンパクト型対称空間内のある種の鏡映部分多様体上の半径が一定でないチューブを発する取り囲む体積を保存する平均曲率流の研究。
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| Causes of Carryover |
予定していた海外出張を行うことができなかったため。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
前年度予定していた海外出張を行う予定である。
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