2013 Fiscal Year Research-status Report
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25400077
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Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Research Institution | Hokkaido University |
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Principal Investigator |
足立 二郎 北海道大学, 理学(系)研究科(研究院), 非常勤講師 (20374184)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 接触構造 / ラウンド手術 |
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| Research Abstract |
本研究の大きな目的は，ラウンド手術の視点から接触トポロジーの統一理論を目指すことにある．２０１３年度に行った研究では，おもに高次元への一般化について考察した．
接触構造とは多様体上の余次元１の部分接空間の分布で，ある意味で常にねじれていっているものである．３次元の場合，それを一気にねじりきってしまうLutzねじりと呼ばれる構造の改変がある．この改変の高次元版の候補がいくつか研究されているが，部分接空間分布としてのホモトピーを変える自然なものは知られてていない．
これに対し，ラウンド手術の視点から新たなモデルを構成した．その考察は決して単純なものではなくある視点の切り替えが重要であった．これは３次元の場合のオリジナルなLutzねじりを再考察することによって得られた．すなわち，まず３次元においてLutzねじりを接触ラウンド手術で実現する方法を考察し２種類の方法を得た．そしてその内の一つから，Lutzねじりは局所モデルの単純な置き換えではなく，３次元ではよく見えないが，さらに複雑な手術を施している事に気がついた．そしてこれを高次元で実現するために，ある局所モデルを構成し，新たな高次元Lutzねじりのモデルを得た．
また，若手研究者を北海道大学に招き，北海道大学幾何学コロキウムで講演してもらうとともに，直接に議論し情報を交換する機会を持った．本研究に関して有益なものを得た．吉安徹氏（東大数理）とホモトピー原理やEngel構造などについて議論した．粕谷直彦氏（東大数理）と高次元Lutzねじりや接触埋め込みについて議論した．また吉安徹氏を講師に招き，ホモトピー原理の勉強会を開催した．北海道大学の教員や院生をはじめ学外からも参加者があり，成功をおさめた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
３次元の場合の接触構造のLutzねじりのラウンド手術による実現は，単なる既知の現象の見直しに留まらず，Lutzねじりに対する新たな視点を与えるものである．これにより，ラウンド手術を用いたLutzねじりの一般化への見通しが非常に良くなった．これは高次元を考える上での重要な一歩であったと思える．その意味で，この研究課題の達成に向け順調に進展していると考えられる．
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| Strategy for Future Research Activity |
今後とも，本研究の大きな目標である接触トポロジーの統一理論を目指して研究を進めて行く．３次元においては接触構造と開本構造との対応が重要であった．ラウンド手術と開本構造の関係をさらに調べて，理論の一般化への手がかりとしたい．また，一般の次元における過旋性の意味を今いちど考える必要を感じる．
これまで自分の中で基礎理論を構築してきたが，さらに国内外の研究者と情報交換を行いながら，研究を推し進めたい．
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
長年に渡り使用してきた計算機が調子が悪くなることもあり，２０１３年度内に新たな計算機を購入することを考えていた．しかし，当該年度内は使用可能であると判断し，購入を見送った．そのため，次年度使用額が生じた．
得られた結果の公表や，関連する研究者たちとの直接の議論や情報交換を積極的に行いたいと考えている．そのために，旅費などとして研究費を使いたい．書籍等からの知識や情報の獲得も重要であり，書籍費なども予定している．また，計算機は論文作成や資料収集に欠くことが出来ず，具合を見極めつつ，必要ならば新たなものを購入したい．
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