2013 Fiscal Year Research-status Report
実多項式写像の特異点の実変形、モノドロミーの分解および接触構造に関する研究
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25400078
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Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
石川 昌治 東北大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (10361784)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | 安定写像 / shadow / Gromov norm |
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| Research Abstract |
複素特異点を実モース化して得られる divide と呼ばれるリンクの構成の一般化として、shadow とのそのリンクの研究を進めた。Costantino-Thurston の論文で指摘されているように、shadow は３次元多様体からの安定写像と密接に関係している。
Shadowとは３次元および４次元多様体を polyhedron により記述する方法であり、Turaev により導入された。安定写像との対応を考えるため、特に face に consistent な向きが定まっている branched shadow を扱う。３次元多様体の複雑さを測る不変量として、その３次元多様体を実現する branched shadow の頂点の数の最小値を branched shadow complexity と定義する。一方、安定写像に対しても、余次元２の特異ファイバーの数を重み付きで数え上げることで、stable map complexity という概念を導入する。今年度の研究で、これら２つの complexity が一致することを示した。
この対応は安定写像の Stein factorization と shadow がほぼ完全に対応していることに依るもので、与えられた３次元多様体に対し、特異ファイバーの少ない安定写像を具体的に構成することが可能となる。例えば、交点数 n のリンクに対しては余次元２の特異ファイバーを高々 n-2 個しか持たない安定写像を構成できることが分かる。さらに、complexity が多様体の双曲体積を上下から bound することを示した。グラフ多様体に対しては complexity と Gromov norm が共に 0 となることから、この結果は佐伯氏による単純安定写像の存在とグラフ多様体に関する結果の一般化と見なすことができる。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
安定写像を shadow を使って具体的に記述できたので、今後の研究では shadow を用いて特異点の変形を具体的に記述することができるようになった。また、branched shadow と接触構造との関係は Costantino によりすでに指摘されており、一連の研究対象を組み合わせる十分な準備ができたと考えられる。
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| Strategy for Future Research Activity |
Divide と shadow、そしてレフシェッツ束との関係を明確にすることでモノドロミーの情報を引き出し、接触構造との関係を明確にする。
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
混合多項式特異点のデータ収集に関して研究者を研究支援員として雇う予定であったが、予定していた研究者が直前に他の職についたため、shadow に関する研究を先に行い、混合多項式のデータ収集を後回しにした。
前年度の計画に沿って、今年度、予定していた研究者を研究支援員として雇い、混合多項式特異点のデータ収集を行う。
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