2014 Fiscal Year Research-status Report
実多項式写像の特異点の実変形、モノドロミーの分解および接触構造に関する研究
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25400078
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
石川 昌治 東北大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (10361784)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | 特異点の変形 / 安定写像 / ハンドル分解 / 混合多項式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Brieskorn型の平面曲線複素特異点の実変形についての研究を行った。具体的には、Levineの判定法を用いて特異点の線形な実変形が一般に generic map であることを示し、さらにそのカスプの数の評価を与えた。Brieskorn型の平面曲線特異点はモース特異点も含む。近年のレフシェッツ束から broken レフシェッツ束への変形で使われているWrinklingと呼ばれる実変形も今回の研究の枠組みに含まれている。Generic map とは安定写像の条件を少し緩めたクラスであり、安定写像を含む概念である。前年度では、Turaev の shadow は安定写像の Stein factorization と見なせるという Costantino-Thurston の視点を利用して安定写像と多様体のトポロジーについての研究を行ったが、同様の考察を今回の generic map への変形に適用することで、実変形によるモノドロミーの分解の研究などをトポロジー、特にハンドル分解の視点から進めることが可能になる。複素特異点のモース特異点たちへの変形では、２ハンドルへの分解を経由して、多様体上の接触構造の特徴付けがなされている。実変形によるモノドロミーの分解が明確にできれば、複素変形と同様の視点で、多様体上の接触構造の特徴付けができることが期待される。
また、shadowの３次元版である Matveev の spine についての研究を行い、２橋結び目補空間の spine を具体的に構成することで、補空間の Matveev complexity に対して良い評価を得ることができた。３次元における spine と４次元における shadow を結びつけることで、研究の方向性をさらに広がることが期待される。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
Brieskorn型の複素多項式特異点の実変形の具体的な考察に成功したことで、実変形の具体的なモデルを得ることができた。これは大きな前進であり、これを足掛かりにモノドロミーの分解などを考察できる環境が整ったと言える。現在、モノドロミーの分解を利用して、どのような generic map が特異点の変形から得られるかについて、位相的な情報を用いて研究を進めているところである。
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| Strategy for Future Research Activity |
まずカスプの近傍において消滅サイクルの位置と対応するハンドル分解を明確にする。その際、全空間である４次元球体をハンドル分解できちんと記述することが重要である。次に変形で得られるような大域的な特異点集合に対して、各カスプのハンドル分解がどのように貼りあうかを考察することで、多様体の位相的性質を導き出す。さらに変形前の特異点の位相的な情報を用いることで、そのような特異点集合が変形により得られるかを考察する。モノドロミーの分解まできちんと書き下せた場合には、接触構造にまで考察を進める。
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| Causes of Carryover |
前年度において、混合多項式特異点のデータ収集のため研究支援員を雇う予定であったが、予定していた研究者が直前に他の職についたいため、研究計画を修正した。当該年度では予定通り研究支援員を雇い研究を進めたが、前年度の雇用に使う予定だった金額の一部がまだ未使用となった。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
最終年度も研究計画に沿って、混合多項式特異点のデータ収集のため研究支援員を雇う予定である。
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