2015 Fiscal Year Annual Research Report
位相空間論および幾何学的トポロジーを用いた位相力学系の研究
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25400079
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| Research Institution | University of Tsukuba |
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Principal Investigator |
加藤 久男 筑波大学, 数理物質系, 教授 (70152733)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | 位相力学系 / カオス / 色彩問題 / 位相次元 / フラクタル / 連続体 / 幾何学的トポロジー / エントロピー |
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| Outline of Annual Research Achievements |
空間の彩色問題は平面の4色問題などでよく知られている。本研究では主に連続写像の彩色問題を研究した。この方面の研究では、古くはLusternik-Schnirelman-Borsukによる次の定理が知られている；n-次元球面上の任意の(n+1)個の閉集合からなる被覆には、antipodal points を含む閉集合が少なくとも１つ存在する。この定理は、その後Erdos, Katetov, Frolic,Van Douwen らによって連続写像の彩色（色付け、coloring)問題として定式化され研究が続けられた。また、彩色数(coloring number)と位相次元との関連研究について、Arts, Fokkink, Vermeer, Buzyakova, Chigogidzeなどの優れた研究が知られている。研究代表者は本研究で、位相力学な発想からeventual coloring numberの概念を新たに導入しその評価公式を得ることで、この方面の研究を飛躍的に発展させることに成功した(J. Mat. Soc. Japan, Topology Proc., Topology Appl., Sci. Math. Japonicae)。同相写像のゼロ次元力学系への持ち上げで、その factor map が finite-one になるものを構成した(Topology Appl.)。局所コンパクト空間上の任意の連続写像について、その周期点集合を‘最適’に保存するコンパクト化が存在することを証明した（Topology Appl.）。あるカオス的な力学系（たとえばゼロ次元周期点集合をもつ力学系）において、最近の物理学に登場するダークマターにヒントを得たダーク空間を定義し、全体空間がダーク空間でほとんど覆われていることを証明した(Topology Appl.)。関数解析への応用として、Banachの著名な‘等長埋め込み定理’を更に発展させた定理を得た；つまり、任意の可分距離空間 X はヒルベルト立方体上の関数空間 C(Q)に等長的に埋め込み可能で、さらに任意の point-wise bounded な X 上の等長変換群は C(Q)上の等長線形変換群に自然に拡張される(Comment. Math. Univ. Carolin.)。
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