ホモトピー代数的構造を持つ圏の幾何学への応用

2016 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 25400081
• Research Institution: Chiba University
• Principal Investigator: 梶浦 宏成 千葉大学, 大学院理学研究科, 准教授 (30447891)
• Project Period (FY): 2013-04-01 – 2018-03-31
• Keywords: ホモトピー代数 / ミラー対称性 / 三角圏

Outline of Annual Research Achievements

当年度も引き続き，（高次元）トーラスのホモロジー的ミラー対称性について研究を行い，いくつかの進展があった．特に，高次元シンプレクティックトーラス上のアファインラグランジアンとミラー対称な複素トーラス上の正則ベクトル束達を，射影的平坦束の中のあるクラスとして特徴づけた．そしてそれらのクラスの正則ベクトル束とそのシフトの成す完全三角系列の構造について考えると，それらの完全三角系列は基本的に2次元トーラス上の直既約正則ベクトル束とそのシフトから成る三角系列から誘導されるものとなることが分かった．
これらと関係して，2次元トーラスのホモロジー的ミラー対称性が導来圏の同値性として議論されているが，実際のところより強くA∞圏の同値性として議論できるものであり，最近いろいろ研究しているとこの差はかなり重要な気がしてきたので結果として公表するため現在準備中である．
一方，三角圏のA∞増強の一意性について，以前反例を構成したのであるが，それが実際に反例となっていることについての証明にギャップがあることが分かった．より詳しくいうと，その例は２つのA∞同値でないA∞圏で，それから得られる三角圏が同値となるものとして構成されるが，実際に三角圏同値になるということの証明にギャップがある．これについて現在修正を試みているところである．
また，松雪氏，寺嶋氏との共同研究において，ホモロジー的に自明なファイバー束の特性類をファイバー上のA∞構造を使って構成し，プレプリントとしてまとめた．

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

過去の結果に間違いが見つかったのでそちらに戻らないといけなくなった．間違いがあることが分かったこと自体は数学的事実の理解において進展したといえるが，先に予定していることにあまり時間が費やせなくなった．

Strategy for Future Research Activity

修正点をまず修正したいが，来年度はそれと平行して，2次元トーラスのホモロジー的ミラー対称性のA∞同値性については論文としてまとめるつもりである．

Causes of Carryover

研究集会をひらくために使用するつもりだったが当年度は急にひらいてしまい規模が少し小さかったためあまり使わなかった．

Expenditure Plan for Carryover Budget

来年度も研究集会をひらく予定である．