多様体の変換群と同変行列式

2013 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 25400084
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Research Institution: Tokyo University of Marine Science and Technology
• Principal Investigator: 坪井 堅二 東京海洋大学, 海洋科学技術研究科, 教授 (50180047)
• Project Period (FY): 2013-04-01 – 2017-03-31
• Keywords: 同変行列式 / 写像類群 / 非可換有限群 / コンパクト・リーマン面 / 群作用

Research Abstract

交換子群の要素数が素数pの倍数になる有限群をCp群と呼ぶこととする．Cp群は非可換有限群であり，逆に全ての非可換有限群はいずれかの素数pに対してCp群となる．平成２５年度の研究において，コンパクト・リーマン面上のCp群作用に関する同変行列式を調べることによって，次の結果を得た．
（結果）下記のリストにある(p,r)に対して，p次巡回群は種数rのコンパクト・リーマン面にに（効果的に）作用できるが，Cp群は種数rのコンパクト・リーマン面に作用できない．
(p,r)=
(5,2),(5,7),(11,5+11k)(k=0～4),(17,8+17k)(k=0～7),(23,11+23k)(k=0～10),(29,14+29k)(k=0～13),(41,20+41k)(k=0～19),(47,23+47k)(k=0～22),(53,26+53k)(k=0～25),(59,29+59k)(k=0～28),(71,35+71k)(k=0～34),(83,41+83k)(k=0～40),(89,44+89k)(k=0～43)

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

上記で得られた結果は現在進行中の有限群作用に対する同変行列式の研究の中で，多様体の次元が２次元の場合に得られた結果である．２次元の場合に限定された結果ではあるが，このような今までに知られていない結果が得られたということは，現在開発中である有限群作用に対する同変行列式の研究の有意義性を示すものである．

Strategy for Future Research Activity

今回は２次元閉多様体に対する結果であったが，更に一般次元の向きづけられた閉多様体上の楕円型作用素の同変行列式の研究を進めることによって一般次元の閉多様体に対して未知の様々な結果が得られるものと考えられる．そのために，向きづけられた閉多様体上の符号作用素に対する同変行列式を求めるための方法を開発する．