2014 Fiscal Year Research-status Report
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25400084
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| Research Institution | Tokyo University of Marine Science and Technology |
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Principal Investigator |
坪井 堅二 東京海洋大学, 海洋科学技術研究科, 教授 (50180047)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 向きづけられた多様体 / 符号作用素 / 有限群作用 / 同変行列式 / Zagier の公式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究では，向きづけられた多様体上にその向きを保つように有限群が作用している場合の同変行列式を計算するための精密な整数論的公式を見つけ，その応用を行うことを目標としている．まず，上記の場合に同変行列式の計算のための整数論的公式を得るためには同変ポントリャーギン類に関する Zagier の整数論的公式を一般化することが必要となるが，２６年度の研究において，この一般化に成功した．この結果の応用例を作成した後に，論文としてまとめ，投稿する予定である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
向きづけられた2m次元多様体M上にその向きを保つように有限群Gが作用していて，その固定点集合が点の集合となっているとする．
このとき，接束TMの複素化をj回楔積してできる複素ベクトル束 E_j をそれぞれ L_j 回テンソル積した上でさらにそれらを
j=1,2,...,m に関してテンソル積した複素ベクトル束を E_L_1L_2,...,L_m とすれば，この複素ベクトル束に値を持つ符号作用素の同変行列式は，全ての L_1,L_2,...,L_m に関して，GからR/Zへの加法的準同型写像 I を与える．この事実は，もし I の値を精密に求める方法がわかれば，固定点周辺のG作用の回転角などに関する大量の制限条件が得られることを意味する．Mに作用するGの要素gの位数がpならば I(g)×p は整数となるから，この整数を正確に求める方法が必要となる．現在までの研究で，Zagier の公式を一般化することによって，この整数を正確に求める公式を得た．後は応用例を作成することによって論文が完成する．
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| Strategy for Future Research Activity |
上記でも説明したように，向きづけられた多様体上にその向きを保つように有限群が作用していて，その固定点集合が点の集合となっているとするとき，その有限群から R/Z への加法的準同型写像である同変行列式の値を正確に計算する公式を既に得ている．今後の研究においては，この公式を用いて，「ある種の向きづけられた多様体Mと有限群Gの組み合わせに関しては，M上に向きを保ち固定点集合が点のみからなるG作用は存在しない．」といった形の応用例を作り，公式と合わせて論文としてまとめる．さらには，固定点集合が次元を持つ場合に同変行列式の値を正確に求める方法を開発することも目的とする．この固定点集合が次元を持つ場合に関しては，多様体が概複素構造を持ち，有限群作用がその概複素構造を保つときには同変行列式を計算する公式が得られているが，未だ固定点集合が点の場合のような正確な公式は得られていないので，同変行列式の値を正確に求める公式を得ることを目的とする．
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| Causes of Carryover |
購入物品の価格が想定した額よりも安かったため．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
２７年度の消耗品購入に使用する．
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