多様体の変換群と同変行列式

2015 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 25400084
• Research Institution: Tokyo University of Marine Science and Technology
• Principal Investigator: 坪井 堅二 東京海洋大学, その他部局等, 教授 (50180047)
• Project Period (FY): 2013-04-01 – 2017-03-31
• Keywords: 向き付けられた多様体 / Atiyah-Singer 指数 / 同変指数 / 同変行列式 / Zagier の公式 / Eisenstein の公式

Outline of Annual Research Achievements

向き付けられた偶数次元閉多様体M上の符号作用素の同変行列式をM上の向きを保つ有限群作用の存在に対する障害として用いるためには，符号作用素Dをベクトル束値作用素としたうえで，Dの（Atiyah-Singer）指数を求めると共に，Dの同変指数を整数論的に求める指数公式が必要となる．２６年度までの研究において，Dの指数を求め，さらに，同変指数を整数論的に求める指数公式はコタンジェント達の積を整数論的に求める Zagier の公式，および，サインと１つのコタンジェントの積を整数論的に求める Eisenstein の公式を一般化したコサインとコタンジェント達の積を整数論的に求める公式から得られるという見識を得たていたが，この見識に従い，昨年度の研究においては，コサインとコタンジェント達の積を整数論的に求める公式を得ることに成功し，Mの向きを保つ有限群作用に対して，回転群の既約表現に対応した複素ベクトル束に値を持つ符号作用素Dの同変指数を整数論的に誤差無しで求める指数公式を得ることに成功した．この指数公式によりDの同変行列式を整数論的に誤差無しで求める計算公式を得ることにも成功したが，さらに，この指数公式はある種のコタンジェント達の積が有理数になるという Zagier の結果の一般化も与える．上記で得られた計算公式は一般偶数次元の向きづけられた閉多様体に対する公式であるが，例として，既知の結果が存在するコンパクト・リーマン面上の素数位数巡回群作用の場合に計算公式を用いた場合，既知の結果と同じ結果が得られることを確認した．

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

ベクトル束値符号作用素Dの同変指数を整数論的に誤差無しで求める指数公式を作り，Dの同変行列式を誤差無しで計算する計算公式を得るという一番大きな目的を昨年度において達成した．しかしながら，指数公式の証明は複雑なものとなり，計算公式も扱いづらい形になってしまっているため，さらなる改良を必要としている．

Strategy for Future Research Activity

今年度の研究においては，ベクトル束値符号作用素Dの同変指数を整数論的に求める指数公式の証明を簡明化すると共に計算公式を使い易い形にし，その計算公式を用いて様々な向きづけられた多様体と有限群に対する具体的な例に対する結果を求めた上で，論文としてまとめ投稿する．

Causes of Carryover

想定と若干の違いが生じ，旅費や物品費に予定ほど費用が掛からなかったため．

Expenditure Plan for Carryover Budget

本年度は本研究に必要となる情報と資料の収集のための旅費，および，本研究に関連する計算を行うための計算機の購入に本研究費を使用する．