2015 Fiscal Year Annual Research Report
曲面結び目理論におけるタングル的手法の開発とその応用
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25400090
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| Research Institution | Kobe University |
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Principal Investigator |
佐藤 進 神戸大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (90345009)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | 曲面タングル / 曲面結び目 / 溶接結び目 / 節付き結び目 / フォックス彩色 / デーン彩色 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の課題は曲面結び目の性質を曲面タングルの観点から明らかにすることである。本年度におこなった研究は大きく３つに分けられる。
（１）向き付け可能な種数１のリボン曲面結び目（トーラス）は溶接結び目によって表現される。この研究では「向き付け不可能な」種数１のリボン曲面結び目（クラインの壷）を表現するために、溶接結び目にいくつかの節をおくことで「節付き結び目」という概念を導入し、その性質について調べた。この節は自明なアニュラスからなる曲面タングルで、両端においてその向きを逆転させるものに対応する。節付き結び目の基本変形を整理し、変形の過程において特に節が１個あれば十分であることを示した。また節付き結び目と対応するリボン曲面結び目の結び目群や結び目カンドルが一致することも明らかにした。
（２）以前の研究により、古典結び目やリボン曲面結び目に対するフォックスn彩色に用いられる色の種類の最小値を考えるうえで「効果的」n彩色に限定することが本質的であることが分かっている。この研究では初めてnが偶数の場合に、タングルを用いた局所変形による考察を行い、特に４彩色、６彩色、８彩色に対してその最小値（それぞれ４、４、５）を決定した。これにより、これまでに知られている下からの評価では不十分であることが分かり、その精密化が今後の課題として明らかになった。この研究は中村氏（大阪電通大）中西氏（神戸大）とともに南フロリダ大のSaito氏との国際共同研究である。
（３）彩色は結び目群の二面体群への表現とみなせるが、その基本的なものとしてフォックス彩色とデーン彩色が知られている。この研究ではデーン彩色に注目して（２）と同様に定義される最小値を導入し、その性質について研究を行った。特にデーン５彩色対する最小値が５であることを、フォックス彩色の場合とは異なる局所変形の手法を用いて決定した。
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