2014 Fiscal Year Research-status Report
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25400091
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| Research Institution | Nara Women's University |
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Principal Investigator |
小林 毅 奈良女子大学, 自然科学系, 教授 (00186751)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 三次元多様体 / Heegaard分解 / Hempel距離 / ミウラ折り |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究においては「１. 三次元多様体論、特にHeegaard理論における手法の精密化・展開」、と「２. 低次元トポロジーにおいてこれまでに得られている様々な成果や定式化をより広い幾何的問題に適用」という二つの目的を設定している。本年度はそれぞれに関して次のような成果が得られた。
１．Heegaard分解の距離に関して、井戸絢子氏、張娟姫氏との共同研究でKeenなHeegaard分解と呼ばれる概念を定義して，任意のg(>2)と任意の自然数n(>2) に対して、距離がちょうどnとなるような種数gのHeegaard分解でkeenであるようなものが存在することを示した。この結果については現在論文にまとめている段階である．
またこれまでに張娟姫氏、小沢誠氏、高尾和人氏と共同でいくらでも橋数の高い既約な橋分解を持つ結び目が存在することを示しているが、これらの橋分解が安定化の操作でどのように関連するかを明らかにすることができた．この結果については現在論文にまとめている段階である
２．双曲的３次元多様体のカスプ近傍の構造を記述するために用いられた「２次元トーラスの相似構造」を用いた平面折り紙の構成について村井紘子と共同研究を行い、３次元多様体内の流れの閉軌道を記述するために導入されたテンプレートにそのような定式化を適用して構成される平面折が存在することを発見した．これらの結果については現在論文にまとめている段階である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
Heegaard分解の距離に関して、井戸絢子、張娟姫との共同研究により，この距離を実現する円板複体の位置関係まで考慮したkeenなHeegaard分解と呼ばれる概念を定義しこれが意味のある概念であることを明らかにすることができた．具体的には曲線複体の中の与えられたHeegaard分解のハンドル体が定める円盤複体に対して、これらの間の距離を実現する測地線が結ぶ２つの頂点が一意的に定まるとき、このHeegaard分解をkeenであると呼ぶことにする。簡単な考察により、keenなHeegaard分解の種数2以下では存在しえないことがわかるが、今回の研究で任意のg (>2) と n (>１)に対して種数 g で距離が n であるようなkeenなHeegaard分解が存在することを示した。この結果に関しては当初の予想を上回る成果であった。また「２次元分岐曲面の相似構造」を用いた平面折り紙の構成について村井紘子との共同研究で力学系分野におけるテンプレート理論と関連する平面折り紙が存在することを確認したのはこれからの研究を展開する上で大きな推進力となると評価している。
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| Strategy for Future Research Activity |
当初の予定通り「Rubinstein-Scharlemann graphicを利用したHeegaard分解の研究」を進めてゆく予定であるが、特に26年度の研究において曲線複体の研究が本質的な役割を果たしていることや、特にHeegaard分解が定める円板複体の位置に関して単に距離を図るだけでなくその位置の特性を考える，という問題意識に意味がある，ことを明らかにできたので、この方向の研究も推し進めていきたいと考えている。そのほかにこれまで行ってきた結び目のトンネル数の増大度に関しても、成果がまとまりつつあるのでそれらを最終的な論文にまとめたい。また、相似構造を用いた平面折り紙の構成に関してはこれまで行ってきた「2次元トーラス上の相似構造」の他に、ローレンツのテンプレートなどの「分岐曲面上の相似構造」を用いた平面折り紙の構成という新しい結果が得られたので、この定式化を用いた理論の展開をはかってゆきたいと考えている。
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Research Products
(11 results)
