2013 Fiscal Year Research-status Report
有理ホモロジー球面の量子不変量から得られる級数と関数の性質とその拡張の研究
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25400094
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Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
高田 敏恵 九州大学, 数理(科)学研究科(研究院), 准教授 (40253398)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | トポロジー / 量子摂動的不変量 |
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| Research Abstract |
前研究課題において得られていたザイフェルト多様体に対するSU(N) free energy の公式は、generalized Catalan number によって書かれているが、更に明確な公式の導出のために、free energy の変数tau の次数が低い部分について、具体的な計算を実行した。また、村瀬氏によって得られたgeneralized Catalan number から得られる分配関数と、SU(N) 摂動的不変量との具体的類似点をみつけ、free energy の変数tau の係数にあたる部分がgeneralized Catalan numberのLaplace 変換に対応しているのではないかと考えた。そのLaplace 変換は、ある微分方程式をみたし、それは分配関数がみたす微分方程式の導出のカギとなっている。まず、明確なfree energy の公式が得られているレンズ空間についてその微分のふるまいを考察した。
また、Henning invariant としての量子不変量の観点から、SU(N)摂動的不変量をとらえるために、結び目の普遍SU(N)不変量について研究した。量子群の一般化である2変数量子群から2変数の結び目の不変量、更に3次元多様体の不変量の構成ができると予想されており、R-matrix の構成、ribbon element の構成などを行った結果、これまで知られている量子不変量と同じものが得られることがわかった。
一方、結び目のcolored Jones 多項式のループ展開（摂動的不変量）が得られる仕組みの研究に関連して、大槻氏との共同研究により，２橋結び目のcolored Jones 多項式の、Nが無限大における漸近挙動について、主要項の次の項にtwisted Reidemeister torsion があらわれることを示唆する結果を得た。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
ザイフェルト多様体に対するSU(N) free energy の明確な公式の導出のために、free energy の変数tau の次数が低い部分について、具体的な計算を実行したが、一般的な公式の導出には至らず、その性質を調べる段階までにはいかなかった。そのため、明確な公式が知られているレンズ空間について、generalized Catalan number についてのLaplace 変換、それから得られる分配関数との対応を調べたが、考察した対応では、generalized Catalan number では関数である一方、レンズ空間のfree energy については、単項になることがわかった。これは、レンズ空間のfree energy に限らず、一般の3次元多様のfree energy についても同じであり、別の対応を考える必要があることがわかった。
2変数量子群から2変数不変量の構成の試みにおいて、R-matirx を構成したが、結果的には、知られている1変数と同じものになることがわかり、新しい結果とはならなかった。2変数量子群において、パラメーターが１の巾根の場合は、永友氏と村上順氏が構成した結び目のlogarithmic invariant に対応する新しい不変量の構成の可能性があるが、そこの手法を使うために必要なべき等元の構成ができず、結論を得ることができなかった。
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| Strategy for Future Research Activity |
ザイフェルト多様体のような、特別な多様体のみに着目するだけでなく、数理物理における予想「Large N duality」、Gromov-Witten invariant と量子不変量のfree energy が一致するという予想に着目する。Gromov-Witten invariantのfree energy は一般に多重対数関数でかける。したがって、摂動的不変量のfree energy も多重対数関数でかけることが予想される。実際、現在得られているレンズ空間のfree energy は多重対数関数でかけている。free enegy は、LMO 不変量をweight system によって評価することにより得られ、3次元多様体のLMO不変量は結び目のKontsevich 不変量から得られる。そこで、Kontsevich 不変量のループ展開にweight system によって評価したときの値と多重対数関数との関連を調べる。この研究手法において、SU(N)だけでなく、SO(N), Sp(N) の場合も同時に考えていきたい。
また、引き続き、ザイフェルト多様体に対するSU(N) free energy の明確な公式の導出のために、generalized Catalan numbers をさらに具体的に計算することにより、その性質を調べる。
更に、山根氏によって、定義された、パラメータが1の巾根の量子群を含む一般化された量子群に利用することにより結び目の量子不変量を構成する。量子不変量は、そのcenter に値をとる。山根氏によるcenter についての結果を利用することにより、Henning invariant を考え、新しい不変量の構成を考えたい。
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
前年度購入予定だった「数理物理学の方法上下」のうち下の方の出版が今年度になったためである。
今年度出版される「数理物理学の方法下」の購入代金の一部にあてる。
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