2014 Fiscal Year Research-status Report
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25400095
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| Research Institution | Osaka City University |
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Principal Investigator |
枡田 幹也 大阪市立大学, 大学院理学研究科, 教授 (00143371)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | シンプレクティックトーリック多様体 / トーリック折り紙多様体 / コホモロジー環 / Peterson variety / Hessenberg variety |
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| Outline of Annual Research Achievements |
２つのテーマに関して研究を行った．
１つは，Anton Ayzenberg, Seonjeong Park, Haozhi Zengと行ったトーリック折り紙多様体のトポロジーの研究である．トーリック折り紙多様体は，トーリックシンプレクティック多様体のシンプレクティック形式が超曲面で退化することを許したもので，Cannas da Silva-Guillemin-Pires によって２０１０年に導入された概念である．トポロジーの立場でみれば，トーリック折り紙多様体は，トーリックシンプレクティック多様体を余次元２の部分多様体で貼りあわせたものになっている．本研究では，角付多様体となる軌道空間の面が非輪状であるという条件の下でコホモロジー環をほぼ決定した．この研究は，環論におけるBuchsbaum複体と関連があり，環論における結果をトポロジーを通して見ている面がある．
もう１つのテーマは，regular Hessenberg variety のコホモロジー環の研究である．Regular Hessenberg には，nilpotent なものと semisimple なものの２種類あり，原田芽ぐみ，堀口達也の両氏と regular nilpotent Hessenberg の中でも重要な位置を占めているPeterson variety の環構造を有理数係数で完全に決定した．Ａ型に関しては，福川―原田―枡田によってコホモロジー環を決定したが，我々は一般のリー型に対してカルタン行列の言葉で綺麗に書けることを見出した．その後，Ａ型の regular nilpotent Hessenberg variety の環構造の決定にも成功し，regular semisimple Hessenberg variety との非常に興味深い関連を見出した．この研究は，阿部拓氏をも含めた研究である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
トーリック折り紙多様体のトポロジーの研究は，Holm-Piresによる研究があるが，それ以外には殆ど手が付けられていない状況である．今回の我々の研究では，軌道空間の面が非輪状という仮定の下ではあるが，コホモロジー環をほぼ決定したことは大きな前進と思う．
Regular nilpotent Hessenberg variety のコホモロジー環の決定は大きな進歩と思う．我々の記述を見ると，Tymoczko-Mbirika の予想は正しくないようである．また，regular nilpotent Hessenberg variety と regular semisimple Hessenberg variety がコホモロジー環を通して関連していることを見出したのは，大きな驚きであった．
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| Strategy for Future Research Activity |
Regular seminsimple Hessenberg のコホモロジー環は，対称群の表現と見ることができ，その表現を決定することは頗る興味深い．阿部拓，原田芽ぐみ，堀口達也氏らと，この表現を精力的に調べており，非常に興味深い様相を呈していることが少しずつ明らかになって来ている．また，この表現は，グラフの(Stanleyによる）彩色対称関数を少し拡張したものと本質的に同じであるというShareshian-Wachs予想がある．これまでこの予想の部分的解決を得ており，完全な解決にむけて，研究を進める予定である．
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| Causes of Carryover |
パソコンを購入予定だったが，旅費などが思った以上に必要になり，購入額を割ってしまったため，次年度購入することとした．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
次年度分を少し足してパソコンを購入する．
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