2017 Fiscal Year Annual Research Report
Study of Foliations and Dynamical Systems
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25400099
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| Research Institution | Nihon University |
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Principal Investigator |
松元 重則 日本大学, 理工学部, 名誉教授 (80060143)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 葉層構造 / 調和測度 / 円周上の群作用 / 群の不変生成性 / 群の左不変順序 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
研究実績は次のように大別される。（1）コンパクト多様体上の双曲的リーマン面を葉とする極小葉層 F に付随する葉層ホロサイクル流の研究。（２）様々な群の円周上への作用の研究。（３）そのほか。
（1）における「付随するホロサイクル流」は、葉層の葉の方向の単位ベクトル束 TF の上のものである。主たる問題は「(A) この流れは、どのような条件の下で、極小になるのか」というものである。ホロサイクル流は（葉向）測地流と合わせて２次元可解非アーベル群 B の局所作用を導く。したがって、上の問題の前に、次の問題を考えなければならない。「(B) 群 B の作用はいつ、極小になるのか？｝もともとの極小葉層 F それ自体が B 作用により、与えられたときには、単位ベクトル束 TF の中に B-作用の「対角部分」が現れ、したがって、TF の上の B-作用は極小にはなりえない。長年の間、これがただ一つの障害であろうと考えていたのであるが、これ以外にも反例があることがわかり、これによって、研究が進展した。問題（A)(B)の十分条件は様々なものが得られた。例えば、葉層 F が余次元 1 の場合、(B) が正しければ (A)が従うことが示された。また、F がリーマン葉層の場合、ほとんどの場合、(A)は正しいことを示すことができた。関連して、F の葉が無限生成の基本群を持つ場合、付随するホロサイクル流は、極小集合を持たないことを示した。これは、他の研究者の並行する研究において、有効に活用されたものである。
（２）については、２次元以上の多様体の無限回微分可能同相写像のなす群の、円周上への1回連続微分可能な作用は自明であることを示した。これは、2回微分可能な作用についての K. Mann の定理の拡張である。連続作用も自明と思われるが、現時点では、不明である。
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