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2016 Fiscal Year Annual Research Report

Pro-finite completion of a 3-manifold group and its relation to topological invariants

Research Project

Project/Area Number 25400101
Research InstitutionSoka University

Principal Investigator

北野 晃朗  創価大学, 理工学部, 教授 (90272658)

Project Period (FY) 2013-04-01 – 2017-03-31
Keywordsfundamental group / SL(2;C)-representation / Reidemeister torsion / minimal polynomial / Brieskorm manifold / homology sphere
Outline of Annual Research Achievements

3次元多様体の基本群の副有限完備化は、トポロジーと整数論を結ぶ2つの観点から重要である。3次元多様体の基本群のSL(2;C)-表現はジェネリックな状況では、複素数体Cよりも、より小さい有理数体Qのある有限次代数拡大体上の2次元SL表現で実現される。この有限次代数拡大の代数的な性質やそのGalois群自体やGalois群の不変量の集合、あるいは表現の空間への作用を調べることは、副有限完備化の観点からも重要であると考えられる。
基本群のSL(2;C)-表現を用いて定義されるReidemeister torsionという複素数値不変量も上のような場合では、その値はその有限次代数体に含まれる。この不変量は基本群と表現の組に関して値が定まるので、この不変量の値の集合を零点集合に持つ多項式が、幾何学的に良い状況の下では定義される。この多項式がもし既約な多項式であるならば、それはReidemeister torsionのある1つの値に関するQ上の最小多項式と一致することが定義から直ちに示される。
この多項式をBrieskornホモロジー球面の場合に、正規化された第2種Chebysche多項式を用いる記述をAnh Tran氏(テキサス大学ダラス校)との共同研究で得た。これはこれまで得られていたトーラス結び目に沿った1/n-Dehn手術で得られるBrieskornホモロジー球面の場合の公式の一般化になっている。
また、8の字結び目に沿ってDehn手術をして得られるホモロジー球面に関しても、同じく正規化された第1種Chebyshev多項式を用いた記述をTran氏との共同研究で結果を得た。

  • Research Products

    (6 results)

All 2017 2016 Other

All Int'l Joint Research (1 results) Journal Article (2 results) (of which Peer Reviewed: 2 results,  Open Access: 2 results,  Acknowledgement Compliant: 2 results) Presentation (3 results)

  • [Int'l Joint Research] テキサス大学ダラス校(米国)

    • Country Name
      U.S.A.
    • Counterpart Institution
      テキサス大学ダラス校
  • [Journal Article] Introduction to twisted Alexander polynomials and related topics2016

    • Author(s)
      Teruaki Kitano
    • Journal Title

      Winter Braids Lecture Notes

      Volume: 2 Pages: 1-35

    • Peer Reviewed / Open Access / Acknowledgement Compliant
  • [Journal Article] Reidemeister torsion of a 3-manifold obtained by an integral Dehn-surgery along the figure-eight knot2016

    • Author(s)
      Teruaki Kitano
    • Journal Title

      Kodai Mathematical Journal

      Volume: 39 Pages: 290-296

    • Peer Reviewed / Open Access / Acknowledgement Compliant
  • [Presentation] Brieskornホモロジー3 球面の基本群のSL(2;C)- 表現のReidemeister torsionから定まる多項式について2017

    • Author(s)
      北野晃朗, Anh Tran
    • Organizer
      日本数学会年会
    • Place of Presentation
      首都大学東京
    • Year and Date
      2017-03-25
  • [Presentation] A polynomial invariant of a homology 3-sphere defined by Reidemeister torsion2017

    • Author(s)
      北野晃朗
    • Organizer
      RIMS研究集会「Casson不変量に関わる3次元多様体の不変量」
    • Place of Presentation
      京都大学数理解析研究所
    • Year and Date
      2017-01-26
  • [Presentation] SL(2;R)-representations of a Brieskorn homology 3-sphere2016

    • Author(s)
      北野晃朗, 山口祥司
    • Organizer
      日本数学会秋季総合分科会
    • Place of Presentation
      関西大学
    • Year and Date
      2016-09-17

URL: 

Published: 2018-01-16   Modified: 2022-02-16  

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