Quantization of singular nilpotent orbits of reductive Lie groups and realization of unitary representations

2016 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 25400103
• Research Institution: Hokkaido University
• Principal Investigator: 山下 博 北海道大学, 理学研究院, 教授 (30192793)
• Project Period (FY): 2013-04-01 – 2017-03-31
• Keywords: リー群のユニタリ表現

Outline of Annual Research Achievements

本研究は，簡約リー群に対する随伴軌道の幾何学的量子化の枠組みにおいて，特異冪零軌道に広い意味で対応する既約ユニタリ表現を特定し，これらのユニタリ表現の良い実現を与えることを主な研究目的とする．これによって，簡約リー群のユニタリ表現と等質空間上の非可換調和解析学の研究の発展に寄与することを目指している．

平成28年度（最終年度）においては，特異冪零軌道に対応する四元数型既約ユニタリ表現の実放物型誘導表現（主系列）における実現についての研究を実施し，以下の実績をあげた．まず，ユニタリ表現の極小Kタイプを定めるパラメータが十分大きい四元数型離散系列表現の場合に，当該ユニタリ表現がちょうど３箇所の主系列表現において実現できるという研究代表者による計算結果（1998年度，証明は未発表）の検証を行った．その検証結果を踏まえて，今度はパラメータを退化させたとき，極小Kタイプベクトルが生成する表現の構造を調べることで，上記３つの実現のうちの１つのみが特異既約ユニタリ表現を定め得ることを明らかにした．これは，極小ユニタリ表現の（極大放物型部分群からの）退化主系列への埋め込みに関するGross-Wallachの結果を他のタイプの四元数型特異ユニタリ表現の場合に拡張できることを示唆している．ただしこの研究成果については，最終的な結論を得るには課題が残っているとの判断から，論文等による発表には至っていない．今後この方向の研究を進めることによって，特異ユニタリ表現の実現や特徴づけについて，より強力な理論の構築を計画している．

研究代表者は上の研究を実施するためにRIMS研究集会「表現論と非可換調和解析をめぐる諸問題」「リー型の組合せ論」等に参加し，簡約リー群の無限次元表現及び組合せ論等について，関連研究者と打合せを行った．また，表現論分野専門書・プリンタインクなど，研究に必要な物品を購入した．