2014 Fiscal Year Research-status Report
多項式写像と多変数超幾何関数の大域的モノドロミーの研究
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25400104
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| Research Institution | University of Tsukuba |
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Principal Investigator |
竹内 潔 筑波大学, 数理物質系, 教授 (70281160)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | 代数解析学 / 特異点理論 / モノドロミー / 超幾何関数 / 偏屈層 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
まず合流型 A-超幾何関数の積分表示にあらわれる積分路の構成改良することで、その無限遠点のまわりのモノドロミーの公式を得ることに成功した。 合流型の場合はA-超幾何関数の大域的な性質はほとんど解明されていなかったので、これは重要な進歩であると思われる。 この結果は海外の雑誌に投稿し出版された。 また多項式写像の分岐点について研究し、多くの研究成果を得た。 例えば Nemethi と Zaharia は多項式写像の分岐点を具体的に表示する公式を予想したが、私はこれを多くの場合に証明することに成功した。 証明には偏屈層の理論とトーリック多様体の理論を用いた。 関連して多項式写像のターゲットが高次元の場合に Nemethi と Zaharia による分岐点集合の評価式を拡張した。 井草ゼータ関数の研究においては、それに関するモノドロミー予想を少し易しくした、Denef と Loeser による位相的ゼータ関数に関するモノドロミー予想を研究した。
これまでの研究では２変数や３変数の多項式について予想を証明する研究結果がほとんどであったが、非退化な多項式については高次元でも多くの場合にモノドロミー予想を証明することが出来た。 我々の方法は、多項式の定義する複素超曲面の特異点が孤立していない場合でも有効である。 さらに研究実施計画にはなかったが、不動点集合の次元が高い場合のレフシェッツ不動点公式を研究した。 hyperbolic localization という新しい考えを導入することで、構成可能層にたいする非常に一般的な公式を得ることができた。これは我々が過去の研究で導入したレフシェッツ輪体といラグランジュ輪体の応用で、特異点を持つ実または複素の代数多様体上でのレフシェッツ型の不動点公式が得られたことになる。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
合流型A-超幾何関数のモノドロミーについては、当初の予想よりもずっと早く一般的な公式を得ることが出来た。 この結果についてはすでに論文を海外の雑誌に出版した。 また多項式写像のモノドロミーに関しては大きな進展はなかったが、そのかわり多項式写像
の分岐点について多くの研究成果を得た。 これについてもすでに２編の論文を執筆し投稿した（そのうち１編は海外の雑誌に出版済み）。 井草ゼータ関数については、そのモノドロミー予想をやや易しくした位相的ゼータ関数について多くの結果を得た。 特に多項式の定義する複素超曲面の特異点が孤立していない場合でも有効な方法を見出したことにより、高次元でも多くの場合にモノドロミー予想を証明することが出来た。 さらに研究実施計画にはなかったが、不動点集合の次元が高い場合のレフシェッツ不動点公式の研究も大きく前進した。 すなわち期待した研究成果が得られなかった課題も若干ある反面、予想を超えて大きく発展した課題もあった。
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| Strategy for Future Research Activity |
多項式写像のモノドロミーの研究については、当初計画した写像のモース化をみつける研究は行きづまってしまった。 そのため方針を転換し、現在は大域的な Brieskorn lattice を考えるなどより代数的なアプローチを模索している。 ニースの Duai などによる研究を高次元化するなどしてこの問題を解決したい。 モノドロミー予想に関しては、ｐ進体上の解析に不慣れな点があるためにここしばらくはより易しい（幾何学的な）位相的ゼータ関数の場合を研究した。 しかし位相的ゼータ関数の研究を通じてモノドロミー予想の背景にあるその極とモノドロミーの固有値の関係が明らかになりつつあるので、ｐ進体または弧空間の上のD-加群の理論などを考えることにより予想を完全に解決したいと考えている。 そのために現在モノドロミーゼータ関数の理論を研究中である。
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| Causes of Carryover |
予定した研究集会への出張がキャンセルになった。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
イタリアでの研究集会への出張に共同研究者を帯同し旅費を支出する。
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Research Products
(6 results)
