2015 Fiscal Year Annual Research Report
測度論的拡大性を持つ微分可能力学系の特徴付けに関する研究
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25400105
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| Research Institution | Utsunomiya University |
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Principal Investigator |
酒井 一博 宇都宮大学, 教育学部, 教授 (30205702)
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2013-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | 力学系理論 / 拡大性 / 確率測度 / 双曲性 / 占有的分解 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
研究目的を達成するため，微分可能閉多様体M上の微分同相写像全体をDiff(M)（C~1-位相を導入），拡大的な微分同相写像全体をEで表す。f in Diff(M)とし，M上の確率測度全体をM(M)，f-不変確率測度μ in M(M)の全体をM_f(M)，エルゴード的なμ in M_f(M)の全体をM~e_f(M)で表す。本研究では，PE={f in Diff(M):μ-拡大的（∀μ in M(M)）}，IE={f in Diff(M):μ-拡大的（∀μ in M_f(M)）}，EE={f in Diff(M):μ-拡大的（∀μ in M~e_f(M)）}を考察する。
E, IE のC~1-位相に関する内点（intAで集合Aの内点を表す）について「intPE=intE」「intIE=Ω-安定性」が成り立ち，測度論的拡大性と双曲性との関係は明確（論文は2014年，専門雑誌掲載）。平成27年度の課題は，26年度に引き続き，研究計画書の課題Ⅰ，Ⅱの解決。その礎となるEEの具体例（３次元多様体上の推移的ではあるが非双曲的な写像空間）の内点の構造解明は完了（論文は2015 年，専門雑誌掲載）。
今年度の取組みでは，課題Ⅰの解決に向け，Pughの閉補題の検討を行った。課題Ⅱの解決に向けてのシナリオは次の通り：ある測度μ in M~e_f(M)に対しsupp(μ)上に占有的分解が存在しないと仮定 → エルゴード的閉補題より，fの C~1-位相に関する近傍に，占有的分解を持たない周期軌道を有するgを構成 → 占有的分解が存在しないことから，gのC~1-位相に関する近傍に吸引的周期点又は反発的周期点を所有するg が存在 → その周期軌道の近傍に，エルゴード的確率測度を持ち拡大的でない力学系を構成。これにより矛盾を導く予定であったが，現時点でエルゴード的測度の構成に至っていない。
総合的に勘案し，本研究の達成状況は概ね70％である。
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