2013 Fiscal Year Research-status Report
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25400111
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Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
高崎 金久 京都大学, 人間・環境学研究科(研究院), 教授 (40171433)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 位相的弦理論 / コニフォールド / フェルミオン / 量子トーラス代数 / 量子ダイログ函数 / 戸田階層 / アブロビッツ・ラディック階層 |
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| Research Abstract |
今年度はSU(N)やその直積をゲージ群にもつ超対称ゲージ理論のネクラソフ函数の可積分構造，3次元トーリックカラビ・ヤウ多様体上の位相的弦理論の可積分構造，量子ダイログ函数，正値グラスマン多様体などの問題に取り組んだ．このうち，一般化コニフォールド上の位相的弦理論の可積分構造の研究に関して一定の成果が得られた．
一般化コニフォールドは3次元トーリックカラビ・ヤウ多様体の一種であり，ウェブ図形の両端に非自明な分割が与えられた場合の開弦振幅は2次元複素自由フェルミ場のフォック空間上の作用素の行列要素として表せる．この行列要素をシューア函数によって母函数化したものは2次元戸田階層のτ函数になり，2次元戸田階層の特殊解を定める．この特殊解のラックス作用素を調べたところ，ラックス作用素は2個の有限階差分作用素の商として表せる，ということがわかった．これは本来のコニフォールド上の位相的弦理論から得られる戸田階層の特殊解（溶解結晶模型の変種とも関係する）の特徴を自然に一般化したものになっている．このことから，この特殊解が一般化されたアブロビッツ・ラディック階層の解とみせることがわかる．こうして，一般化コニフォールド上の位相的弦理論と一般化アブロビッツ・ラディック階層の関係が明らかになった．また，その過程で量子トーラス代数や量子ダイログ函数が一定の役割を果たした．一般化コニフォールドからフロップ変換によって得られる場合にも同様の可積分構造が存在することが期待される．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
当初，U(1)をゲージ群とするネクラソフ函数の可積分構造の取り扱いはSU(N)の場合にそのまま拡張できると考えていたが，思いがけない技術的困難に遭遇し，それを乗り越える手がかりがまだ得られていない．SU(N)の直積の場合（箙ゲージ理論）についてはまったく見通しが立っていない．
超対称ゲージ理論のネクラソフ・シャタシビリ極限やAGT予想に関連する問題に関しては，基本的な概念や手法を学ぶことが難航している．この問題については，関連する研究の数が多すぎることも消化に手間取る一因である．
正値グラスマン多様体に関連する問題についても，ポストニコフらの先行研究の消化に時間がかかっている．先行研究の調査の結果，古典的な全正値行列の理論も平行して学ぶ必要が生じて，そちらにも取り組んでいる．
さらに，研究代表者が他大学のポスト公募に応募したことに伴って，採用内定前後にさまざまな事象が発生し，研究時間のかなりの部分をその処理のために費やすことになった．
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| Strategy for Future Research Activity |
位相的弦理論の開弦振幅の可積分構造について引き続き研究を進める．当面の課題として，一般化コニフォールドからフロップ変換で得られる場合について詳しく考察し，可積分構造の観点から壁越現象や量子ミラー曲線などの理解も試みる．ブリニらによるフロベニウス構造の観点からの研究との関係についても考察する．
超対称ゲージ理論のネクラソフ函数については，SU(N)をゲージ群とする場合の「双対分配函数」の可積分構造の観点から，熱力学極限におけるサイバーグ・ウィッテン曲線の出現の仕組みを説明したい．また，ダイクラーフらの超弦理論からのアプローチにも注目したい．ネクラソフ・シャタシビリ極限についても，メイヤー展開などの基本的手法を習得したい．
正値グラスマン多様体や全正値行列については，ポストニコフの「境界観測量」の概念が可積分系との接点となるように思われるので，その可能性を追求したい．また，平面的電気回路の応答行列も全正値行列の理論の重要な応用例であり，可積分系との関わりが期待される．
量子可積分系に関連する新たなテーマとして，ウィッタカー函数とそのｑ類似にも取り組みたい．ウィッタカー函数は量子戸田格子の固有函数を与えるが，最近，ラムによって全正値行列との関係が指摘されている．さらに，オコンネルやボロディンらによって非平衡統計力学の可解模型にも応用されている．
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
当該年度中に他大学のポスト公募に応募し，採用が内定した．その際の大量の書類の作成やその後のさまざまな予定の変更によって，研究時間が大幅に減少し，当初予定していた出張の一部も取り止めを余儀なくされた．
当該年度に使い残した額は新年度の当初予定額と合算して，新年度の研究経費として使用する．新たな所属先においては，研究環境整備のため若干の付加的支出が見込まれるが，当初予定していた研究計画の実行に大きな支障はない．
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