2014 Fiscal Year Research-status Report
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25400111
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| Research Institution | Kinki University |
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Principal Investigator |
高崎 金久 近畿大学, 理工学部, 教授 (40171433)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 溶解結晶模型 / オービフォルド / 戸田階層 / 位相的弦理論 / フェルミオン / 量子トーラス代数 / 量子ダイログ函数 / ミラー曲線 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は，1. オービフォルド型溶解結晶模型の可積分構造，2. ある種のトーリック多様体上の位相的弦理論の開弦振幅，の2点に関して成果が得られた．
1. オービフォルド型溶解結晶模型は通常の溶解結晶模型の一般化であり，2個の正整数パラメータa,b をもち，局所CP1幾何学と呼ばれる3次元トーリックカラビ-ヤウ多様体のZa×Zbオービフォルドに関連している．通常の溶解結晶模型のボルツマン重みは無限変数シューア函数の特殊値から構成されるが，オービフォルド型模型ではこの特殊値の選び方が変わる．今回の研究では，従来の溶解結晶模型と同様に，この模型も2次元戸田階層のある種の簡約系の特殊解に対応していることを明らかにした．これはブリニらがフロベニウス構造の観点から行った研究を別の方向からより一般的に説明するものである．
2. closed vertexと呼ばれる形のウェブ図形をもつ3次元トーリックカラビ-ヤウ多様体の位相的弦理論に対して，位相的頂点の方法を用いて，外線の1つが非自明な表現をもつ場合の開弦振幅を具体的に計算した．この計算では溶解結晶模型で用いられたフェルミオン，量子トーラス代数，量子ダイログ函数などの道具を再利用した．さらに，非自明な表現が横1行（あるいは縦1列）のヤング図形に相当する場合に開弦振幅の母函数を考察し，それが線形q-差分方程式を満たすことを見出した．このq-差分方程式はカラビ-ヤウ多様体のミラー曲線に関係していると思われる．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
溶解結晶模型はU(1)をゲージ群とする5次元超対称ゲージ理論のインスタントン分配函数とみなせるが，その可積分構造に関する結果をゲージ群がSU(N)やSU(N)の直積の場合に一般化する問題は依然として手がかりが得られていない．また，4次元N=2超対称ゲージ理論のネクラソフ-シャタシビリ極限やAGT対応に関連する問題についても，先行研究や次々に登場する新たな観点からの研究の消化に追われて，まだ独自の切り口を見出すに至っていない．
他方，これらとは異質の可積分構造が見出されている4次元N=4ゲージ理論やその双対の超弦理論について，本研究課題の開始当初から先行研究を学んで来たが，この方面の数年来の研究はすでに終盤を迎えているようである．新たな研究の方向も現れているが，それを消化するために時間がかかっている．
以上のことも含めて，本研究課題の申請時点以来，関連分野の状況は大きく様変わりしつつあるが，なかなか変化に対応しきれないのが現状である．
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| Strategy for Future Research Activity |
研究課題が3年目を迎えた現在，関連分野の状況の変化を踏まえて，今後の研究の方向を大幅に考え直したい．
トーリックカラビ-ヤウ多様体上の位相的弦理論については新たな成果が得られつつあり，この研究をさらに推進する．すなわち，さまざまな場合に開弦振幅を計算し，母函数のq-差分方程式を導出することを試みる．特に，局所CP1×CP1幾何や局所CP2幾何と呼ばれる場合を扱うことができれば大成功といえるだろう．
この計算の鍵である量子トーラス代数や量子ダイログ函数は近年注目を集めているクラスター代数や壁越公式の研究にも登場する．今後はそのようなテーマにも取り組みたい．その意味で，最近のチェコッティらによる位相的ツイスター弦理論の研究は，壁越公式の新しい応用としてさまざまな発展の可能性を感じさせる．
超対称ゲージ理論のインスタントン分配函数については，今後はまだ萌芽的段階にあるテーマの方に力を入れたい．特に興味深いのは，現在多くの研究者が注目しているように，AGT対応などの背後にあるといわれる6次元超対称ゲージ理論の諸側面を探ることだろう．その題材の一つとして，たとえば，最近のボネリらによるヴォルテックス-インスタントン分配函数の研究を学んでみたい．
他方では，4次元N=4超対称ゲージ理論の散乱振幅を量子可積分系の観点から理解し直す試みもドイツの研究グループで始まっている．そこではベーテ仮設法，ヤンギアン代数，正値グラスマン多様体のセル分割などが用いられる．これらは当初から本研究課題で取り上げたいと考えていたテーマであり，これから本格的に学んでみたい．散乱振幅は正値グラスマン多様体のセルの上の積分で与えられるが，これは多変数ウィッタカー函数の積分表示に通じるものであり，量子可積分系や量子コホモロジーに取り組むきっかけにもなるだろう．
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| Causes of Carryover |
研究課題は次年度に継続するものであり，差額は少額でもあるため，あえて今年度中に消化する必要を認めなかった．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
次年度の交付金に繰り込んで使用する．
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