2015 Fiscal Year Research-status Report
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25400111
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| Research Institution | Kinki University |
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Principal Investigator |
高崎 金久 近畿大学, 理工学部, 教授 (40171433)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 位相的弦理論 / フェルミオン / 量子トーラス代数 / 量子ダイログ函数 / q-差分方程式 / 可積分階層 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は昨年度に引き続き，3次元トーリックカラビ-ヤウ多様体上の位相的弦理論について位相的頂点の方法によって考察した．昨年度末にclosed vertexと呼ばれる樹木状のウェブ図形をもつ場合について，開弦振幅の具体的計算からミラー曲線を導く手がかりを得たが，この計算を検討し直して整理し，計算を可能にする仕組みと限界を明らかにした．結果として，ミラー曲線の量子化（量子ミラー曲線）がq-差分方程式として得られるからくりは明快になった．他方，当初の期待に反して，この開弦振幅の計算法をclosed topological vertex以外の樹木状のウェブ図形に拡張することは困難であることもわかった．
closed topological vertexについて一定の成果を得た後，strip geometryと呼ばれる線状のウェブ図形をもつ場合について考察した．これは初年度に取り上げたgeneralized conifoldを特別な場合として含むものであるが，そこではウェブ図形の両端の外線に非自明な表現がある場合の開弦振幅の母函数を戸田階層のτ函数とみなして，対応するラックス作用素の特徴を明らかにした．今回は両端に限らずウェブ図形の任意の外線を1つ選んで，そこに非自明な表現を置いて得られる母函数をq-差分方程式の観点から考察した．これらのq-差分方程式は量子ミラー曲線とみなせるが，異なる外線から得られる曲線は互いに正準変換によって結ばれて、全体として単一の曲線を定めることがわかった．
現在，これらの1変数母函数を多変数化したものを考察しているが，KP階層のτ函数として行列式表示をもつなど，興味深い事実が明らかになりつつある．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
この研究では位相的頂点の方法で開弦振幅を計算する際に，部品となる開弦振幅をフェルミオン表示した上で，フェルミオンフォック空間上の特殊な作用素の満たす代数的関係式を利用している．strip geometryやclosed topological vertexの場合にはある特殊事情でこの計算がうまく行くのだが，この特殊事情が使えない場合がまだ扱えない．さらに，当初は局所CP1×CP1 geometryのようにウェブ図形がサイクルをもつ場合にも同様の計算を行うことを目指していたが，これには全く異質の発想が必要になる．
これら問題にはかなりの時間を費やしたが，まだ手がかりがつかめない．現在はstrip geometryにおいて多変数化した母函数の性質を調べているが，こちらの研究はまだ始まったばかりである．
このような位相的頂点の方法と平行して，クラスター代数と壁越公式の関係についての研究，ゲージ理論と2次元共形場理論の関係（AGT対応）に関する研究，ヴォルテックス-インスタントン分配函数の研究などを相当の時間をかけて学んでみたが，適当な題材を見出すに至っていない．
研究期間も後半に入り，今年度は当初予定していた項目の中から，全正値（全非負）グラスマン多様体やクラスター代数などに関連する題材を取り上げることにした．国内外の研究会に積極的に参加して，基本的な概念・方法や超対称ゲージ理論・有限自由度可積分系などへの応用を学んだが，内容の消化に間取って，まだ研究の目標を見定めるに至っていない．
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| Strategy for Future Research Activity |
位相的頂点の方法に関する研究はstrip geometryの場合に焦点を絞り，現在進めている1本および2本の外線に関する開弦振幅の母函数の研究を完成させる．その上で，3本以上の外線に関する開弦振幅の母函数が多成分KP階層のτ函数になっているだろう，という予想の解決を目指す．
また，位相的弦理論の量子ミラー曲線を参考にして，KP階層や戸田階層における量子スペクトル曲線の概念をより一般的な観点から論じる．特に，KP階層の場合と違って，戸田階層における量子スペクトル曲線の概念はまだ明確な定式化がない．戸田階層は2成分KP階層と対応しており，この問題は多成分KP階層における量子スペクトル曲線の概念とも関わっている．
他方では，全非負行列・全非負グラスマン多様体や各種のクラスター代数などの中に可積分系との新たな節点を探る．これはこの研究課題の中で完結するものではなく，現在申請を検討中の次期の研究課題において引き続いて追求したい．
これらの研究に関する情報収集や成果発表のために，いくつかの研究会に参加する．また，状況が許せば，量子ミラー曲線の研究について以前から連絡を取り合ってきた村瀬元彦氏（カリフォルニア大学デイヴィス校）を訪問して，情報交換を行いたい．
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| Causes of Carryover |
当初予定していた物品が他の研究費で購入できたことなどによって予算に余裕が生じた．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
翌年度の物品購入や国内旅費に使用する．
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