2017 Fiscal Year Annual Research Report
Integrable structures in mathematical physics and combinatorics
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25400111
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Research Institution | Kindai University |
Principal Investigator |
高崎 金久 近畿大学, 理工学部, 教授 (40171433)
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Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2018-03-31
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Keywords | 溶解結晶模型 / Gromov-Witten不変量 / 位相的頂点 / Hurwitz数 / 双線形方程式 / KP階層 / 戸田階層 / Volterra階層 |
Outline of Annual Research Achievements |
昨年度後半の研究では,5次元U(1)超対称ゲージ理論の溶解結晶模型に対する4次元極限の処方箋を見出し,その応用として,リーマン球面のGromov-Witten不変量の母函数がKP階層のτ函数であることを証明した.そこでは溶解結晶模型が依存する戸田格子の格子座標 s をs = 0に限定していた.本年度はこの制限を外した設定で溶解結晶模型の4次元極限を考察して,4次元極限として得られるリーマン球面のGromov-Witten不変量の母函数が戸田階層のτ函数であること(先行研究で証明されている)の別証明を与えた.いずれの場合も証明の核心部分において,τ函数を特徴付けるFay型双線形方程式が極限移行の後にも成立することを示す.これはGetzler, Dubrovin, Zhang, Milanovらの先行研究における証明よりも直接的で見通しのよいやり方である. 今年度は位相的頂点やHurwitz数の母函数の背後の可積分階層についても考察した.位相的頂点は特殊な3次元Calabi-Yau多様体の上の位相的弦理論の分配函数や振幅函数を計算する道具である.また,Hurwitz数はリーマン面の分岐被覆の位相型を数え上げる数である.これらの数の母函数は戸田階層のτ函数になることが知られている.最近Dubrovinたちはある因子によって修正された位相的頂点の母函数がVolterra階層と関係していることを特別な場合に示し,より一般的な場合について同様のことを予想した.今年度の研究ではこの問題を戸田階層のLax形式の初期値問題の観点から考察して,Lax作用素がVolterra階層やその一般化に対応する形に因子分解することを見出した.さらに,リーマン球面のHurwitz数の母函数についても,Lax作用素がVolterra階層の変種に関係する構造を持つことを示した.
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