2015 Fiscal Year Annual Research Report
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25400113
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
大山 陽介 大阪大学, 情報科学研究科, 准教授 (10221839)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | パンルヴェ方程式 / q-差分方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
q-パンルヴェ方程式の漸近解析のうちq-パンルヴェVI型にあたる方程式の接続問題は眞野智行氏によって解かれた。退化した場合としてq-パンルヴェV型にあたる方程式の原点の周りでの接続問題を解いた。q-パンルヴェV型の場合、対応するq-線型方程式は不確定特異点を一つ持つためにq-ストークス現象が現れる。そこでまず、対応するq-線型方程式の大域解析を行った。q-パンルヴェVI型の場合は方程式を退化させることで、2つのハイネのq-超幾何方程式に退化するため、各々の方程式の接続公式（トーメ・ワトソンの公式）に帰着される。q-パンルヴェV型の場合は退化線型方程式はハイネのq-超幾何方程式とq-合流超幾何方程式に分離する。後者についてツァン・森田の接続公式が知られているので、二つの異なる接続公式を適用することで元のq-線型方程式の接続問題を解くことができる。この方法は、q-パンルヴェIII型方程式に対しても適用することができ、この場合は退化線型方程式は二つのq-合流超幾何方程式に分離する。
以上が一般論であるが発表論文では特殊解としてq-パンルヴェIII型・V型方程式が原点の周りで一価有理型になる解についてその線型接続係数を記述した。この場合、退化線型方程式のうち片方が完全可約になるため接続問題としては本質的にはもう片方のq-線型方程式の接続問題のみに帰着することになる。
この種の解はパンルヴェ微分方程式の場合は数理物理の諸問題にしばしば表れる重要な解であったので、q-パンルヴェ方程式の場合も今後の応用に期待できると思われる。また、q-線型方程式の大域解析はほとんど行われておらず、その興味深い具体例になったと考えている。q-パンルヴェ方程式の漸近解析に関して不確定特異点と関係する場合も含めて、新たな突破口を得たので今後の研究につなげていきたい。
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Research Products
(6 results)
