2014 Fiscal Year Research-status Report
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25400114
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| Research Institution | Kobe University |
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Principal Investigator |
小池 達也 神戸大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (80324599)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 完全WKB解析 / Borel 総和法 / 多重総和法 / middle convolution / A超幾何方程式系 / 不確定特異点 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
(1) 高階線形常微分方程式の Voros 係数と middle convolution について．
昨年度に引き続き，このテーマについて京都大学数理解析研究所の岩木耕平氏と共同研究を行なった．昨年度までの研究で， middle convolution による Voros 係数の変化を，middle convolution により持ち込まれるパラメータに関する差分方程式を導くことで記述することに成功し，それによりパラメータに関する依存性が明らかにされた．今年度は Voros 係数を完全に決定することを念頭に，パラメータの零あるいは無限大の極限で Voros 係数がどのようになるかを考察し，合流型超幾何関数をはじめとする幾つかの具体的な方程式に対して試み，それによってVoros 係数を決定することに成功した．この方法の一般化が次の課題となる．
(2) 合流型 A 超幾何方程式系の Gevrey 解に対する多重総和法について．
A 超幾何方程式系（GKZ(Gelfand, Kapranov , Zelevinski)超幾何方程式系）が regular holonomic でない場合に，modified A-hypergeometric system を経由することで原点での形式解を Borel 総和法を用いて意味付けするという試みを以前に高山氏（神戸大），Castro-Jimenez 氏，Fernandez-Fernandez 氏と共に共同で研究し，ある種の条件のもとで肯定的な結果を得た．その研究を発展させるべく，この 2 月にスペインを訪問し Castro 氏・Fernandez 氏と共に slope が複数存在する場合に多重総和法を適用できるかどうかを調べてみた．幾つかの具体的な場合を考察してみた結果，行列 A から定まる配置を用いて記述できそうだという見通しをたてることができた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
総和法を用いた場合，ある関数の漸近解析はその関数の Borel 変換像の解析性を調べることと同値になるが，今年度の研究により
(1) 完全 WKB 解析において重要な Voros 係数の理解がより深まり，
(2) A 超幾何方程式系に対して，slope と Gevrey index，そして多重総和法における指数の関係を明らかにする手掛りが得られた．
このうち，(1) は middle convolution により持ち込まれるパラメータの極限を考えていることから，monomial summability との接点が生まれるものと期待している．また，(2)において扱われる（変形）A 超幾何方程式系は，その（適当な指数による）Borel 変換が，また A 超幾何方程式になるため，解の Borel 変換像を調べる上で非常に適した題材である．そのような A 超幾何方程式系の多重総和法の観点からの理解が進んだことは本研究において重要な意味を持つと考えている．
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| Strategy for Future Research Activity |
まず，高階方程式に対する 完全 WKB 解析の Voros 係数の middle convolution を用いた研究について，前年度までで明らかにされた結果をふまえてより一層発展させていく．Voros 係数自体は完全 WKB 解析においてとても重要な意味を持ち，さらに漸近解析の題材としても興味深いことから，本研究課題を遂行する上で良い研究題材になると考えている．
また，10 月に漸近解析の専門家である Schafke 氏が日本を滞在する計画であることから，monomial summability とその応用についての研究も進める予定である．特に完全 WKB 解析における WKB 解の Borel 総和可能性について，monomial summability の観点からの証明を通して，その理解を深める予定をしている．必要であれば研究代表者が Schafke 氏の所属する Strasbourg 大学を訪問することも考えている．
さらに，時間が許せば A 超幾何方程式系で不確定特異点における slope が複数ある場合に，解の多重総和可能性についての研究も進めてみたい．
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| Causes of Carryover |
東京にて年度末に完全WKB解析の専門家と研究打合せを行う予定であったが、事情によりキャンセルとなったため、旅費に残金が出てしまった。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
2015年度の早い段階で研究打合せを実施する。
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