2016 Fiscal Year Annual Research Report
The study of operator monotone functions and its application to polynomials and operator perturbation
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25400116
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| Research Institution | Ritsumeikan University |
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Principal Investigator |
内山 充 立命館大学, 理工学部, 教授 (60112273)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | Operator functions / Pick functions / Gamma function / Positive linear maps |
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| Outline of Annual Research Achievements |
実軸の区間I で定義された実数値連続関数f(t) が与えられたとき，I にスペクトルを持つすべての有界自己共役作用素(あるいは行列)X に対してf(X) が定義できる。この作用素関数f(X) を作用素順序，固有値分布，解析接続の観点から研究し，作用素の摂動による固有値の非線形現象を解析すると共に関数f(t) が多項式あるいはガンマ関数などの特殊関数の場合に応用し，多項式系やガンマ関数等の研究を推進していくことがこの研究課題の目的である。平成28年度には H. Pedersen (Prof. of U. Copenhagen) との共同研究論文が Trend in Mathematics, Positivity VII (2016) から出版された。この論文は，log f が作用素凸関数ならば f の逆関数は作用素単調関数であるという定理が中心であり，ガンマ関数の主逆関数が作用素単調関数であるという私の結果の一般化であった。
その他に，作用素環の間の線形作用素Φと作用素凸関数gに関するKadison, Davis, Choi, Petz, Arvesonの結果を拡張・発展させることを目標として研究してきた。具体的には自己共役作用素Aと正線形写像Φが与えられたとき等式Φ(g(A))=g(Φ(A)) が作用素凸関数gについて成立すれば， この等式はすべての連続関数g に対して成立する，即ちΦが代数的積の演算を保存することが知られている。Choi氏はこれを直線以外の一般的な連続関数g に拡張できるのではないかと予想した。この予想を証明し，「作用素環-作用素論研究集会」（前橋県立大学）， ILAS 2016 (UK Leuven, Bergium)， University of Copenhagen (Denmark)で発表した。
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