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2014 Fiscal Year Research-status Report

ワイル群不変な多変数楕円超幾何関数の差分方程式系の研究

Research Project

Project/Area Number 25400118
Research InstitutionTokyo Denki University

Principal Investigator

伊藤 雅彦  東京電機大学, 未来科学部, 教授 (30348461)

Project Period (FY) 2013-04-01 – 2018-03-31
Keywords楕円超幾何関数 / 楕円セルバーグ積分 / 補間関数 / Askey-Wilson 積分 / Dixon-Anderson 積分
Outline of Annual Research Achievements

研究代表者・伊藤は、メルボルン大学 Peter J. Forrester の協力を得て、Dixon-Anderson型q-級数(A型楕円超幾何関数のパラメータp→0の極限として得られると想定される級数)の和公式に関する成果を2本の共著論文にまとめた。これらは学士院紀要 Ser. A Math. Sci. および J. Math. Anal. Appl. 誌に掲載された。
また研究代表者・伊藤は、メルボルン大学 Nicholas S. Witte の協力を得て、Askey-Wilson型積分(1変数BC型楕円超幾何関数のパラメータp→0の極限)が満たす差分方程式系を応用して、数理物理における1次元量子sl_2普遍XXZモデルの量子逆散乱法および直交多項式系との関連を議論し、共著論文にまとめた。これも J. Math. Anal. Appl. 誌に掲載された。
楕円超幾何関数の差分方程式を具体的に表示するには、差分ドラームコホモロジーの基底を決める必要があり、望ましい基底の取り方は「補間関数」という対称関数の族に関係することがわかっていた。平成25年度に引き続き、平成26年度も研究代表者・伊藤は連携研究者・野海正俊(神戸大)と「補間関数」の構成について議論を重ね、この研究が必要とする「補間関数」の具体的な表示を得た。また応用として、(1) BC型楕円セルバーグ積分の楕円ガンマ関数表示、(2) BC型楕円超幾何級数の和公式、に関する「補間関数」を用いた証明法を与えた。この証明では、積分を差分方程式の解とみなすことが重要で、その差分方程式の導出に「補間関数」が使われている。一方、差分方程式の境界条件は「補間関数」とは独立に求めなければならない。境界条件として、楕円超幾何に特有の漸近挙動を採用した。上記(1)(2)の内容を日本数学会年会(明治大学)「無限可積分系セッション」で発表した。

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

楕円超幾何関数に付随する「補間関数」の研究が進んで、中間成果を学会で発表できたこと。

Strategy for Future Research Activity

楕円超幾何関数に付随する「補間関数」の研究をさらに進めて、楕円超幾何関数が満たす差分方程式のランクが高い場合に「補間関数」を応用することで、その差分方程式の解の接続問題を解決する。接続問題を具体的に解くことによって楕円超幾何関数の和公式、変換公式を理解する。

  • Research Products

    (4 results)

All 2015 2014

All Journal Article (3 results) (of which Peer Reviewed: 3 results,  Acknowledgement Compliant: 3 results) Presentation (1 results)

  • [Journal Article] On a family of integrals that extend the Askey-Wilson integral2015

    • Author(s)
      Masahiko Ito, N.S. Witte
    • Journal Title

      Journal of Mathematical Analysis and Applications

      Volume: 421 Pages: 1101--1130

    • DOI

      http://dx.doi.org/10.1016/j.jmaa.2014.07.056

    • Peer Reviewed / Acknowledgement Compliant
  • [Journal Article] The q-Dixon-Anderson integral and multi-dimensional 1ψ1 summations2015

    • Author(s)
      Masahiko Ito, Peter J. Forrester
    • Journal Title

      Journal of Mathematical Analysis and Applications

      Volume: 423 Pages: 1704--1737

    • DOI

      http://dx.doi.org/10.1016/j.jmaa.2014.10.034

    • Peer Reviewed / Acknowledgement Compliant
  • [Journal Article] Ramanujan's 1ψ1 summation theorem ―perspective, announcement of bilateral q-Dixon-Anderson and q-Selberg integral extensions, and context―2014

    • Author(s)
      Masahiko Ito, Peter J. Forrester
    • Journal Title

      Proceedings of the Japan Academy, Series A, Mathematical Sciences

      Volume: 90 Pages: 92--97

    • DOI

      doi: 10.3792/pjaa.90.92

    • Peer Reviewed / Acknowledgement Compliant
  • [Presentation] BC型楕円多重和公式の基本不変式による導出2015

    • Author(s)
      伊藤雅彦 野海正俊
    • Organizer
      日本数学会2015年度年会「無限可積分系セッション」
    • Place of Presentation
      明治大学 駿河台キャンパス
    • Year and Date
      2015-03-23

URL: 

Published: 2016-05-27  

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