2013 Fiscal Year Research-status Report
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25400129
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Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Research Institution | University of Toyama |
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Principal Investigator |
菊池 万里 富山大学, 大学院理工学研究部(理学), 教授 (20204836)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | マルチンゲール / Banach関数空間 / 準Banach空間 |
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| Research Abstract |
Lebesgue空間Lpからその弱空間w-Lpを定義するのと同様の方法で，非原子確率空間上のBanach関数空間Xに対し，その弱空間w-Xが定義される．w-Xは準Banach関数空間になる．本研究の目的は，マルチンゲールの諸性質を用いて，弱空間w-Xの構造とマルチンゲール理論の関係を解明することにある．これまでの研究代表者（菊池）の研究により，すべての条件付平均作用素がXからw-Xへの作用素として一様有界になる為の必要十分条件が得られているが，この研究成果を基に，離散時径数マルチンゲールf=(fn)に対して，その極大平均振動作用素θf，及び，２次変分作用素Sfが（フィルトレーションに依存することなく）w-Xからw-Xへの有界な作用素となる為の必要十分条件を得た．更に，θfのw-Xに於ける準ノルムが極大作用素MfのXに於けるノルム（の定数倍）で評価される為の必要十分条件などが得られた．得られた必要十分条件は，いずれも研究代表者（菊池）よって導入されたXの上基本関数の概念，及び，その上基本関数に対して定義されるある種の指標を用いて表現される．
得られた結果は，Banach関数空間に於けるマルチンゲール不等式に関する結果などの，既知の結果に類似する部分とそうでない部分に分かれ，この分野に於ける新たな識見をもたらすものとなった．
これらの結果は，３篇の論文として発表すべく，現在（平成26年5月現在）準備中である．本研究によって得られた結果を調和解析学など密接に関連する分野の研究者に対して，セミナーなどで紹介したところ，「各種作用素が有界になる空間の特徴付け」という発想はあまり聞かないということであった．調和解析学などでも同様の視点に立つ研究が可能ではないかと思われる．今後は，マルチンゲール理論にとどまらず，他の分野の研究に発展させられるよう，範囲を広げて研究を実施したい．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
XをBanach関数空間とし，w-Xをその弱空間とする．当初，マルチンゲールf=(fn)の２次変分作用素Sfのw-Xに於ける準ノルムがfの概収束極限のXに於けるノルム（の定数倍で）評価される為の必要十分条件を求めることを，本研究の初年度の計画としていた．しかしながら，研究の結果，これは大変難しい問題であることが分かった．その為，計画を変更して，Sfのw-Xに於ける準ノルムがfの概収束極限のw-Xに於ける準ノルムで評価できる為の条件（すなわち２次変分作用素がw-Xからw-Xへの作用素として有界になる為の条件）を考察したところ，そうなる為の必要十分条件を得ることができた．得られた必要十分条件は，これまでに知られていた概念だけでは表現できず，Xの「上基本関数のある種の指標」の概念が必要であることが分かった．この概念を用いれば，fの極大平均振動作用素θfが（フィルトレーションに依存することなく）w-Xからw-Xへの有界な作用素になる為の必要十分条件なども得られる．
これらの結果を３篇の論文に纏めるべく，準備中である．数学では，１年間で数編の論文を纏めることは簡単ではない．初年度の研究で３編の論文を纏める目途が立ったということは，順調に研究が進んでいると解釈してよいと考える．また，Xの「上基本関数のある種の指標」の概念が本研究の推進に有用であるという新たな識見を得ることができた．このことも，研究が順調に進んでいると判断する理由のひとつである．
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| Strategy for Future Research Activity |
初年度に引き続き，Banach関数空間Xとその弱空間w-Xに於いて，マルチンゲールに対するの種々の作用素がw-Xからw-Xへの作用素として有界になる為の必要十分条件や，マルチンゲール不等式が成り立つ為の必要十分条件を求める研究を進める．マルチンゲールのKrickeberg分解に関する準ノルム不等式なども考察したい．更に，Banach関数空間Xを準Banach関数空間に置き換えたとき，マルチンゲールに対する種々の作用素が有界になる為の必要十分条件が得られるか，得られたとすれば，XがBanach関数空間の場合とどのような点が同じで，どのような点が異なるかを解明したい．
更に，Banach関数空間Xの弱空間w-Xなど，様々な準Banach空間に於けるマルチンゲールの（準ノルムに関する）収束定理を考察したい．例えば，準ノルム空間Xに於いて準ノルム有界なすべてのマルチンゲールが収束するための必要十分条件を求めることを目標としたい．
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
研究代表者（菊池）は，本研究課題に加え，宮地晶彦氏（東京女子大学教授）が代表者を務める科研費（実関数論的手法による調和解析とその応用：基盤研究(B)23340034）の分担者でもある．事情により，この科研費の分担金が当初の予定より10万円多く配分されることとなった．本研究は基金分であることを考慮し，この10万円とほぼ同額を本研究の繰り越し金として，次年度使用することとした．
現在使用しているパーソナルコンピュータ（ノート型）が老朽化したので，当初計画していた旅費はそのままとし，物品費の使用計画を少々変更して，新しいコンピュータを購入する予定である．
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