2015 Fiscal Year Research-status Report
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25400129
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| Research Institution | University of Toyama |
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Principal Investigator |
菊池 万里 富山大学, 大学院理工学研究部(理学), 教授 (20204836)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | マルチンゲール / Banach関数空間 / 準Banach関数空間 / マルチンゲール変換 / 準ノルム不等式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Lebesgue空間Lpから弱空間w-Lpが定義されるのと同様の方法で，非原子確率空間Ω上のBanach関数空間Xから，その弱空間w-Xが定義される．w-Xは研究代表者の菊池によって導入され，ここ数年にわたりマルチンゲール理論を用いてその構造が解析されてきた．
平成27年度に実施した研究の結果，一様可積分なマルチンゲールf=(fn)と，絶対値が一様に1以下であるような可予測過程v=(vn)に対し，マルチンゲール変換v*f=(v*fn)の概収束極限のw-Xに於ける準ノルムを，fの概収束極限のw-Xに於ける準ノルムの定数倍で評価する不等式が成立する為の必要十分条件を導出することができた．Xの上基本関数をφで表すことにすれば，得られた必要十分条件の1つは，φ(At)/φ(t)のt→0+とするときの上極限，及び，下極限の値を用いて表現される．更に，この結果から派生する問題の研究結果として，一様可積分な2つのマルチンゲールf=(fn)とg=(gn)に対し，Ω上でfの概収束極限よりgの概収束極限の方が大きいときに，fの極大関数Mfのw-Xに於ける準ノルムを，gの極大関数Mgのw-Xに於ける準ノルムの定数倍で評価する不等式が成立する為の必要十分条件を導出することができた．これらの研究で得られた結果は，論文に纏め発表すべく現在準備中である．
上記の研究結果に加え，平成27年度に実施した研究では，一様可積分なマルチンゲールf=(fn)の二次変分Sfのw-Xに於ける準ノルムを，fの概収束極限のXに於けるノルムで評価する不等式（Burkholder型の弱不等式）が成立する為の十分条件を得ることができた．この研究結果は更なる発展が期待できる為，引き続き研究を進めたうえで，次年度中に論文に纏める予定である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
平成26年度の研究実施状況報告書に記載した通り，平成26年度までの進捗状況はおおむね順調に進展している．これに加え平成27年度は，マルチンゲール変換に関する種々の不等式がBanach関数空間Xの弱空間w-Xに於いて成立する為の条件，及び，Burkholder-Davis-Gundy型の不等式がw-Xに於いて成立する為の条件を導出することを目標としていた．研究の結果，目標通りマルチンゲール変換に関する不等式がw-Xに於いて成立する為の必要十分条件を導出することができた．また，Burkholder-Davis-Gundy型の不等式が成立する為の必要十分条件を導出することはまだできていないが，この問題と密接な関連を持つBurkholder型の弱不等式が成り立つ為の十分条件を得ることができた．後者の研究は更なる発展が期待できる．以上の事実から，研究はおおむね順調に進展していると判断される．
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| Strategy for Future Research Activity |
平成27年度の研究で得られたBurkholder型の弱不等式に関する研究を進めたい．既に述べた通り，Banach関数空間Xの弱空間w-Xに於いてBurkholder型の弱不等式が成り立つ為の十分条件が得られたので，必要条件を得ることを目標としたい．また，必要条件が得られない場合には，得られた十分条件が妥当である（必要条件に近い）ことを例証することを目標とする．更に，一様可積分なマルチンゲールf=(fn)に対して，その概収束極限の絶対値から生成されるマルチンゲールを|f|=(|fn|)で表し，f=(fn)の極大関数をMf，二次変分をSfで表すとき，fの極大関数Mfのw-Xに於ける準ノルムと，|f|の極大関数M|f|のw-Xに於ける準ノルムを互いに他の定数倍で評価する不等式が成立する為の必要十分条件を導出すること，及び，fの二次変分Sfのw-Xに於ける準ノルムと，|f|の二次変分S|f|のw-Xに於ける準ノルムを互いに他の定数倍で評価する不等式が成立する為の必要十分条件の導出することも目標としたい．このことが，Burkholder-Davis-Gundy型の不等式が成立する為の必要十分条件を導出することに繋がると考えられる．
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| Causes of Carryover |
本研究課題の研究期間は4年間であるが，最初の2年間は他の科研費（基盤研究(B)23340034「実関数論的手法による調和解析とその応用」: 研究代表者 宮地晶彦）の研究分担者であった．この科研費の分担金として配分された額が当初の予定を上回った為，本研究の配分額を有効に利用することを目的に，その一部を次年度に繰り越した．その結果，平成27年度の使用額は，支払請求額に約17万円上乗せすることとなった．上乗せとなった17万円のうち，4万5千円は旅費として使用し，残りの約12万5千円に関しては，現在使用中のノート型コンピュータの1台が老朽化しつつあるので，新しいコンピュータを購入する為に（本研究課題の最終年にあたる）次年度に繰り越すこととした．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
平成28年度には，平成27年度の旅費（約81万円）よりやや少ない約75万円を旅費として使用し，繰越しとなった約12万5千円を含めた残額を，ノート型コンピュータ，及び，消耗品の購入にあてることとしたい．
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