2015 Fiscal Year Annual Research Report
汎関数により表現される消散構造をもつ非自励な微分方程式系に対する適切性
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25400134
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| Research Institution | Shizuoka University |
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Principal Investigator |
田中 直樹 静岡大学, 理学部, 教授 (00207119)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
石井 克幸 神戸大学, 海事科学研究科(研究院), 教授 (40232227)
清水 扇丈 京都大学, 人間・環境学研究科(研究院), 教授 (50273165)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | evolution operator / metric-like functional / dissipativity / connected condition / subtangential condition / weak continuity / revel set |
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| Outline of Annual Research Achievements |
１．時間に依存する単調作用素，劣微分作用素により支配される発展方程式の枠組みの拡張を模索した。
（１）非自励な微分方程式に対する解の初期値に関する連続的依存性に着目し, リプシッツ発展作用素の概念を導入した。連続作用素がリプシッツ発展作用素の生成素であるための条件を, 距離に似た汎関数による消散条件, 接線条件, 定義域の連結性条件により特徴づけ, 非自励な準線形波動方程式の初期値問題の適切性へ応用した（研究成果へ記載の１つ目の論文）。この方向の研究を，微分作用素のイメージとは結び付きにくいある種の連続性条件に着目して展開することにより，必ずしも連続とは限らない作用素に対する非自励な微分方程式系の適切性定理の確立を目指したい。そうすることにより，本研究が距離を用いて発展方程式の消散構造を捉えようとするものであることから，抽象的コーシー問題の研究の新たな方向性である，距離空間における微分方程式の適切性理論の構築を目指すことに繋がると考えている。
（２）弱連続作用素に支配される発展方程式に対する解の存在定理を確立した。適切性の問題から一意性の問題を切り離し，存在性の問題に焦点を絞った研究である。得られた存在定理を，べき乗の非線形項をもつシュレディンガー方程式の初期値問題，対数項をもつ波動方程式の初期値問題の解の存在性の問題へ応用した（研究成果へ記載の２つ目の論文）。存在性の問題に焦点を当てる方向の研究が，二重非線形問題などの研究と繋がることを期待している。
２．加藤の準線形理論の拡張－退化準線形微分方程式への接近法－として，昨年度に確立した「Favard クラスの概念を組み込んだ安定性条件と整合性条件のもとでの退化方程式に付随する発展作用素の特徴づけ定理」を，退化方程式に付随する発展作用素に対する積公式が導出できるように，数値解析的な観点から見直している。
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