2014 Fiscal Year Research-status Report
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25400146
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| Research Institution | Nihon University |
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Principal Investigator |
永井 敦 日本大学, 生産工学部, 教授 (90304039)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
亀高 惟倫 大阪大学, その他部局等, 名誉教授 (00047218)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | ソボレフ不等式 / 離散化 / グリーン行列 / 再生核 / 正多面体 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究課題は基礎科学の諸分野に登場する微分方程式、差分方程式の境界値問題のグリーン関数を求め、その再生核としての性質を調べることによって，ソボレフ不等式を導出するものである．またグリーン関数の各種ノルムや対角線値を計算して，ソボレフ不等式の最良定数および最良関数を具体的に計算する．2014年度は特に以下の2点を中心に研究した．
(1) 切頂正多面体上の離散ソボレフ不等式の最良定数：工学の諸分野での応用が指摘されているC60バッキ－ボールフラーレンをはじめとする5種類の切頂正多面体上の離散ソボレフ不等式を研究した。具体的には各種多面体上の離散ラプラシアンを導入し、そのグリーン行列を求めた。またグリーン行列の再生核構造を調べ、離散ソボレフ不等式を導出しその最良評価を行った。本研究成果について2編の論文を執筆し現在投稿中である。
(2) 2M階線形常微分作用素の両端自由端境界値問題：同問題の（一般化）グリーン関数を求めて、その再生核構造を明らかにした。また超幾何関数に関するWhippleの定理を用いてソボレフ不等式の最良定数および等号を達成する関数（最良関数）を計算した。 本研究成果は論文を執筆，Journal of Inequalities and Applications に掲載された。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
正多面体および切頂正多面体の離散ソボレフ不等式の最良評価を行った。また本研究成果は数学的に興味深いのみならず、工学への興味深い応用につながることがわかった。具体的には離散ソボレフ不等式は、各種多面体上の各頂点の平衡状態からのズレをソボレフエネルギーと呼ばれる一種の弾性エネルギーで評価するものである。そして不等式の最良定数が小さいほど、対応する力学モデルがたわみにくい、つまり堅いことがわかる。本研究を工学への応用において注目を浴びているC60バッキ－ボールフラーレンやカーボンナノチューブへ拡張可能であることもわかった。
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| Strategy for Future Research Activity |
各種グラフ上の離散ソボレフ不等式の最良定数について、さらに研究を深めていきたい。具体的にはアームチェア型やジグザグ型などさまざまなタイプのカーボンナノチューブに対応する離散ソボレフ不等式を導出し、その最良定数を求める。また頂点数が比較的少ない（＝扱いやすい）ものについては、最良定数がチェビシェフ多項式などの特殊関数で与えられることが最近の研究で分かった。この研究を頂点数が一般のモデルに適用して、新しい特殊関数の開発および関数の諸性質の究明へと進んでいきたい。
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| Causes of Carryover |
2014年度はソフトウエアやノートPC（NEC）を購入したが、こちらの予算よりも安価で購入できたため若干研究費に残額が生じた。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
本年度はC60やカーボンナノチューブに対応する離散ソボレフ不等式の研究を進める。得られた成果は適切な雑誌に投稿する。また金沢大学で開催される応用数理学会に出席，研究発表，また京都大学数理解析研究所での可積分系研究集会で研究打ち合わせをする。
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