Discretization of Sobolev inequalities and its engineering applications

2018 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 25400146
• Research Institution: Tsuda University
• Principal Investigator: 永井 敦 津田塾大学, 学芸学部, 教授 (90304039)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 亀高 惟倫 大阪大学, その他部局等, 名誉教授 (00047218)
• Project Period (FY): 2013-04-01 – 2019-03-31
• Keywords: 離散 / ソボレフ不等式 / グリーン関数 / グラフ理論 / 完全2部グラフ

Outline of Annual Research Achievements

ソボレフ不等式の離散化と離散ソボレフ不等式の最良定数および最良ベクトルの計算を行った。
特に完全２部グラフ $K_{m,n}$ における離散ソボレフ不等式の最良定数を求めた。2017年度に論文 "A Hierarchical Structure for the Sharp Constants of Discrete Sobolev Inequalities on a Weighted Complete Graph" を武村一雄氏と研究分担者の亀高惟倫氏と執筆し，1編の論文として "Symmetry" に発表した．これまでの研究は完全グラフを考察の対象としてきたが，次の研究ステップとして2部グラフ，中でも最も基本的で重要な完全2部グラフを次の考察の対象とした。
完全２部グラフの離散ラプラシアンは (m+n)次正方行列で与えられ、固有値ゼロをもち対応する固有空間は１次元である。離散ラプラシアンのペンローズ＝ムーア一般化逆行列つまりグリーン行列を求めた。次にグリーン行列は(m+n)次元ヒルベルト空間を適切に設定すると再生核行列となる。また再生等式にコーシー＝シュワルツの不等式を適用すると、離散ソボレフ不等式を得ることができる。また離散ソボレフ不等式において最良定数はグリーン行列の対角線値の最大値で与えられる。さらに対角線値の最大値を与えるのがグリーン行列の (j0, j0) 成分であるとすると、離散ソボレフ不等式において等号を成立するベクトル、つまり最良ベクトルはグリーン行列の第 j0 列の列ベクトルであることがわかった。特にm=nの場合について，グリーン行列、最良定数、最良ベクトルの公式を得て、最良性の証明を与えた．本研究結果は論文執筆中である。