2015 Fiscal Year Research-status Report
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25400147
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| Research Institution | Aichi Institute of Technology |
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Principal Investigator |
中村 豪 愛知工業大学, 工学部, 准教授 (50319208)
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2013-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 複素解析 / リーマン面 / クライン面 / 極値的円板 / 自己同型群 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
与えられた種数をもつコンパクトリーマン面に対して、種数に応じて定まる最大半径の円板（極値的円板）を埋め込むことができるものを極値的リーマン面と呼ぶ。同様に向き付け不可能な双曲的閉曲面であるクライン面に対しても極値的円板、極値的クライン面が定義できる。今年度は、種数6をもつ向き付け不可能な極値的クライン面の自己同型群を考察した。対象となるクライン面は膨大に存在するが、コンピュータを活用することによって多くの自己同型群は自明なものになり、少数が位数の小さい巡回群や二面体群などになることが判明した。特に、自己同型写像に関する問題として、その最大位数がいくつかということは既に知られている。向き付け不可能なコンパクトクライン面においては、種数が偶数か奇数かに応じてその最大位数は異なる式で表される。種数が6のときの最大位数は10であり、この位数の自己同型写像をもつクライン面は同型を除いて2種類存在することが判明した。またこれを利用して、種数が4以上のすべての偶数の場合に対して最大位数の自己同型写像をもつ向き付け不可能な極値的クライン面を2種類構成した。
固定された種数及び境界成分の個数をもつ向き付けられた双曲的閉曲面に対して、境界曲線とホモトピックな閉測地線の長さが定められた値となる完備双曲計量の空間（タイヒミュラー空間）を考察した。有限個の測地的長さ関数を導入することにより、この空間をある次元のユークリッド空間に埋め込むことが可能である。この埋め込みによって、写像類群によるタイヒミュラー空間への作用は有理変換で表現できることを示した。
Dessin d’enfantからBelyi関数を構成する問題については、まずトーラスの場合に関してスペインの研究協力者と議論を行うことができた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本年度は研究の拠点をパリに移して複素解析及び幾何の専門家たちと議論することができた。これにより本研究課題に対して様々なアイデアを教授していただき、研究に弾みをつけることができた。達成した内容は次の通りである。１．種数6の向き付け不可能な極値的クライン面に対してそのNEC群の基本領域である双曲正多角形を取り、辺の貼り合わせのパターンをコンピュータで調べることによって自己同型群を得ることができた。多くは自明な群であるが、位数の小さい巡回群や二面体群なども得られた。２．種数が4以上の偶数である場合に、最大位数の自己同型写像をもつ向き付け不可能な極値的クライン面を構成することができた。これはクライン面の2種類の無限列として表せる。３．Dessin d’enfantからBelyi関数を構成する問題について、研究協力者であるErnesto Girondo氏（Universidad Autonoma de Madrid）と研究打合せをすることによりBelyi関数を構成するアイデアを教授いただいた。閉曲面としてはまだトーラスの段階であるが、種数2以上のコンパクトリーマン面にも適用できると思われる。４．境界付きのある向きづけられた双曲的曲面上における完備双曲計量の空間（タイヒミュラー空間）を考察した。この計量には、境界曲線とホモトピックな閉測地線の長さが定められた値となるようにマーキングが付けられている。ある個数Nの測地的長さ関数を導入することによりタイヒミュラー空間をN次元のユークリッド空間に埋め込むことができ、これによりタイヒミュラー空間への写像類群の作用は有理変換になることが証明できた。
以上により、Belyi関数を構成する問題は次年度以降に進めるが、計画全体としては概ね順調に進んでいると言ってよい。
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| Strategy for Future Research Activity |
来年度はフランスの複素解析と幾何の研究者グループと再び面会して、今年度培った経験を踏まえながら極値的リーマン面及びクライン面の特徴づけや対称性に関する問題について前進させる。スペインの研究協力者とは主にメールで連絡を取り合いながら、コンパクトリーマン面に付随するDessin d’enfantからBelyi関数を構成する問題を解決したい。面会して直接意見を交換することはとても意義があるため、今年度と同様にスペインでの研究打合せ考えている。国内の研究者とは、リーマン面に関連する研究集会や学会などを利用して最新の理論を教授いただき、本研究課題の遂行に努める。特に、タイヒミュラー空間及び写像類群の問題に関しては、研究協力者と研究打合せのための出張を計画している。名城大学で毎週開催されているポテンシャル論セミナーにも参加し、出席者から広く意見を求めていく。研究対象のリーマン面、クライン面は膨大にあるため、今年度までに購入したコンピュータを十分に活用して問題解決を図りたい。また、適時リーマン面、双曲幾何に関連する文献を購入して研究に深みを持たせる。
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| Causes of Carryover |
今年度は研究拠点をフランスに移し、パリ第6大学内にある数学研究所で研究を行った。ヨーロッパ内で開催される研究集会及び研究打合せのために、マドリッドのUniversidad Autonoma de Madridに2回、ロンドンのKing’s College Londonに1回出張したが、地理的に近距離であったため旅費が想定よりも少なく抑えることができた。研究成果発表はフランス国内でパリ、マルセイユ、ボルドーと3回行ったが、マルセイユでは補助を受けたため、こちらも出張旅費負担は多くならなかった。これが次年度使用額の生じた主な理由である。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
使用計画は、今年度研究内容についてさまざまなアドバイスをいただいたパリ第6大学の教授と再び面会するための出張旅費の一部として使用し、本研究課題の達成に向けて研究打合せを行いたい。また、Dessin d’enfantの専門家であるスペインの研究協力者とも今年度と同様に研究打合せを行う計画である。そのための出張旅費の一部にあてたい。残額は約9万円であり、額としては少なくはないが、来年度において十分使用可能な範囲であると考えている。
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