2017 Fiscal Year Annual Research Report
Analysis of extremal Riemann surfaces and Klein surfaces
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25400147
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| Research Institution | Aichi Institute of Technology |
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Principal Investigator |
中村 豪 愛知工業大学, 工学部, 教授 (50319208)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 複素解析 / リーマン面 / クライン面 / 極値的円板 / 自己同型群 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
これまでの研究において，種数6の向き付け不可能な極値的クライン面は全部で約15万種類存在することが得られている。各クライン面に付随するNEC群の基本領域における辺の貼り合わせをコンピュータで判別することにより，自己同型群を求めることができた。それらは8種類の異なる群からなることが判明した。多くは自明な群からなるが，位数2，3の巡回群，位数6，10，20の二面体群などの基本的な群が含まれる。特に自己同型群が位数2の巡回群となるクライン面を得ることは，基本領域が半回転や反転といった操作に関する対称性をもつものである。
種数2の極値的リーマン面からリーマン球面への3点分岐値をもつ関数（Belyi関数）を求める問題について，正18角形の基本領域と三角群の基本領域の関係から自然に定めることができ，それに対応するdessin d’enfantを曲面上に描くことができた。
種数2の閉リーマン面のタイヒミュラー空間に作用する写像類群を考察し，その位相的共役を除くすべての有限部分群に対してHumphries生成元の積で表される生成系を与える一連の研究を完成することができた。これはNielsenの実現定理によって，その有限部分群は閉リーマン面の自己正則写像のなす群によって表現できることが大きく関わっている。写像類群の基本的な元によって自己同型群の表現を求めることはモジュライ空間のより良い理解のために有用である。
写像類群のホモロジー群への作用は，写像類群からシンプレクティック群への表現を与える。種数2の閉リーマン面の基本群に対する標準的生成系からHumphries生成元を構成し，その生成元に対する表現を得た。また，位数2，6，6，8，10をもつ5種類の基本的な元の行列表示も得ることができた。これらの結果は写像類群の研究に貢献できたと思われる。
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