2013 Fiscal Year Research-status Report
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25400154
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
浦川 肇 東北大学, 国際教育院, 教授 (50022679)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | ２－調和写像 / 調和写像 / k-調和写像 / コンパクト・リー群 / 対称空間 |
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| Research Abstract |
１９８６年に提起された調和写像の拡張である２－調和写像理論に対し、ターゲットが非正曲率の自乗可積分な調和写像でない２－調和写像の非存在、ターゲットがコンパクト・リー群や対称空間の場合の２－調和写像の特徴付けと分類・構成を行った。前者については完備リーマン多様体から非正曲率リーマン多様体への任意の２－調和写像について、テンション場の各点ノルムの自乗可積分が有限ならば、調和写像でなければならないという、定理を示した。後者については、任意のリーマン多様体からコンパクト・リー群やコンパクト・対称空間への２－調和写像について、リー代数による特徴付け定理を示し、その応用として２－調和写像の構成・分類定理を示した。特に、対称空間として、球面や複素射影空間の場合に、それらの空間への２－調和写像であって調和写像でない例を系統的に構成した。
次に、前田瞬、中内伸光らとの共同研究により、２－調和写像を一般化して、k-調和写像の概念を定式化し、k-調和写像のオイラー・ラグランジュ方程式を決定し、k-調和写像がどのような時に調和写像となるか、調和写像でない k-調和写像の構成について考察した。その結果、完備多様体からユークリッド空間への k-調和写像が 、各j=1,2,・・・, k について 「j-エネルギー」が有限であるならば、やはり調和写像となる、という定理を示した。さらにターゲット空間が負の定曲率空間の場合にも同様の結果を得た。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
平成２５年度は共同研究が順調に進み、コンパクト・リー群や対称空間への２－調和写像や完備リーマン多様体から非正曲率多様体への２－調和写像についてはジャーナルへの発表も順調に行うことができた。
他方、共同研究者とのメールの交換により、k-調和写像のオイラー・ラグランジュ方程式が従来予想していたものとは違い、思いがけず新たな非線形項が必要となったが、このための補正をすることができた。それらの成果をまとめることができ、現在、投稿中である。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後の推進方策としては、
（１）2-調和写像に関する最大の問題である B-Y Chen予想「ユークリッド空間内の 2-調和写像は調和写像、
すなわち極小なものに限る」の解決を目指すことに全力をあげること、
（２）ターゲット空間が一般の場合に、特に余次元が大きい場合に、2-調和部分多様体の特徴付けを示すこと、（３）ターゲット空間が３次元ユークリッド空間や球面の場合に、2-調和写像の表現公式がないか、検討すること、
（４）2-調和写像の離散版の定式化
などについて考察してゆきたい。
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