2016 Fiscal Year Annual Research Report
The generalized rotational hypersurfaces and their geomteric evolution problems
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25400156
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| Research Institution | Saitama University |
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Principal Investigator |
長澤 壯之 埼玉大学, 理工学研究科, 教授 (70202223)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 一般化された回転超曲面 / メビウス・エネルギー / メビウス不変性 / 分解されたメビウス・エネルギー / 離散エネルギー / 変分公式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
一般化された回転超曲面の大域存在に関しては、タイプIとIIに関するものは平成27年度に公表済みであった。残りの場合を含め全タイプに関するものは、27年度中に論文の掲載が決定していた。今年度は、校正を終えた段階で、29年度に印刷される事となった。
曲線に対する共形不変なエネルギーの一つであるメビウス・エネルギーについて、引き続き研究を行った。分解エネルギーの第一変分公式が二乗可積分空間上の線形形式として拡張されるという論文が受理・電子出版された。
メビウス・エネルギーの数値計算には、その離散エネルギーが用いられる。従来知られる離散エネルギーは、いずれもメビウス不変性という元のエネルギーが持っている重要な性質を失っている。メビウス不変性を持った離散エネルギーの定義可能性をSalzburg大学のSimon Blattと共同研究を行った。同時に、メビウス・エネルギーの分解エネルギーについても、メビウス不変な離散版が定義可能かも考察した。空間内の4点から決まる複比がメビウス不変量である事に着目し、メビウス・エネルギーおよびその分解エネルギーの密度が「『複比』から導かれるメビウス不変量」を用いて書き直せる事を示した。その離散版を考える事で、メビウス不変性を保ったまま、メビウス・エネルギーおよびその分解エネルギーを離散化出来る事を示した。また、閉曲線を等辺多角形で近似し頂点数を無限大とする極限操作で、これらの離散エネルギーが元のエネルギーに収束する事も示した。上記の方法により、分解エネルギーのメビウス不変性の別証明も得られた。これは、本研究の副産物である。
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