2014 Fiscal Year Research-status Report
切断近似をしないボルツマン方程式と非線形超局所解析
| Project/Area Number |
25400160
|
|---|
| Research Institution | Kyoto University |
|---|
Principal Investigator |
森本 芳則 京都大学, 人間・環境学研究科(研究院), 教授 (30115646)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2017-03-31
|
| Keywords | ボルツマン方程式 / 衝突積分項 / 非切断近似 / 平滑効果 / 大域解 / 漸近安定性 / 測度解 / 解の正則性 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
空間非一様な切断近似をしないボルツマン方程式については，代表者らの研究により，大域的平衡解であるマクスウェル分布の周りでの摂動解が，ハードポテンシャル，ソフトポテンシャルのいずれの場合も，初期摂動が空間変数と速度変数に関してある程度の微分可能性を仮定すると存在することが知られていた．これまで，ハードポテンシャルの場合は，技術的な理由でソフトポテンシャルの場合よりも多くの微分階数を仮定する必要があったが，空間変数に関してBesov 空間を導入することにより，ほぼ最適（optimal）と思われる3/2 指数の Besov 空間の微分可能性を空間変数に仮定すれば，速度変数については2乗可積分空間の枠のみで，大域的な摂動解が得られることが明らかになった．
空間一様なボルツマン方程式の研究では，マクスウェル型と呼ばれる衝突積分核が粒子の相対速度によらない場合には，初期値が1点のみのDirac 測度以外であれば，弱解の範囲を測度解に広げても必ず解の平滑効果が初期エネルギーが無限な場合を含めておこることを前年度までの研究で明らかにしていたが，エネルギーが無限で，1次のモーメントが丁度，有界になる場合の測度解の時間連続性は未解決であった．測度解の空間における，Toscani距離とそれを補完的する距離を導入する際に，補完距離の部分を実部のみ考えることにより，1次のモーメントの処理が可能であることを示した．
ボルツマン方程式の球対称解をモデルとして導出されるKac 方程式に対し，空間非一様な場合についてマクスウェル分布の周りでの摂動解の Gevrey級の平滑効果， Gelfand-Silov 級の平滑効果を考察した．Gevrey 性は解析性(analyticiy)の一般化であり，Gelfand-Silov 性は，基礎空間上とフーリエ空間上の両方でのGevrey 性を意味する．
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
空間非一様なボルツマン方程式の大域解の存在定理について，空間変数に関して Besov 空間を利用することが，非切断近似の場合にも有効であることを示すことができた．切断近似した場合には，Duan-Liu-Xuの結果があるが，非切断近似の場合，衝突積分項を所謂gain 項，loss 項と分けて評価できないので，より精密な解析が必要であった．また，時間大域解の構成の準備段階での時間局所解の構成についても，非切断近似の場合は，衝突項がもつ速度変数に関する擬微分作用素的挙動を制御する必要があり，これらの困難さを克服することができた．空間一様なボルツマン方程式の研究では，マクスウェル型と呼ばれる衝突積分核が粒子の相対速度によらない単純な場合には，Bobylev 公式に基づいて，フーリエ変換後の共役変数の空間でのみ方程式を扱うことができる，有効な距離空間を得ることが可能となった．我々が得た方法は，マクスウェル型でない場合にも，その有効性を示唆するものと期待される．
|
| Strategy for Future Research Activity |
空間非一様なボルツマン方程式の大域解の存在定理について，ソフトポテンシャルの場合にも，Besov 空間が有効であるかを検証することが重要である．また，解の存在定理ばかりでなく，解の正則化条件についても，必要とされる微分可能性の階数の最適化は今後の課題である．
空間一様なボルツマン方程式の測度解の研究では，フーリエ変換の方法がハードポテンシャルの場合に，どこまで有効であるかを明らかにするため，ハードポテンシャルな場合に用いられる，Povzner 不等式について，詳細な解析を進める．
研究計画を遂行するため、現在まで共同研究を行ってきた，N. Lerner, C.-J. Xu, K. Pravda-Starov, R.Alexandre（海外共同研究者：在仏），T.Yang, Shuaikun Wang （海外共同研究者：在香港）, Huijiang Zhao （海外共同研究者：在武漢）諸氏との研究を継続するため，海外共同研究者を1～2 週間程度京都大学に招へいし集中的に討論を行うと共に，代表者は講義休講期間を利用して，香港城市大学，Rouen 大学で各１週間程度の共同研究を行う. また，国内外の研究者を招へいし，最新の研究動向について検討を行う．
|
| Causes of Carryover |
外国人共同研究者との共同研究の日程に，変更が生じて計画を次年度に移行した．
|
| Expenditure Plan for Carryover Budget |
外国人研究者の共同研究のため，招へい旅費，及び研究成果発表のための国内外の旅費として使用する計画である．
|
