2015 Fiscal Year Research-status Report
切断近似をしないボルツマン方程式と非線形超局所解析
| Project/Area Number |
25400160
|
|---|
| Research Institution | Kyoto University |
|---|
Principal Investigator |
森本 芳則 京都大学, 人間・環境学研究科(研究院), 教授 (30115646)
|
|---|
| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
清水 扇丈 京都大学, 人間・環境学研究科(研究院), 教授 (50273165)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2017-03-31
|
| Keywords | ボルツマン方程式 / 衝突積分項 / 非切断近似 / 大域解 / Besov 空間 / 平滑効果 / Toscani 型距離 / 超局所解析 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
前年度に引き続き，空間非一様な切断近似をしないボルツマン方程式について，空間変数に関して Besov 空間を導入することにより，ほぼ最適（optimal)と思われる3／2指数の微分可能性の仮定の下，大域的平衡解であるマクスウエル分布の周りの摂動解の時間大域存在を考察した。速度変数については，微分可能性を仮定しない2乗可積分空間の枠のみで大域解の存在がハードポテンシャルの場合は前年度までの研究で得られていたが，ソフトポテンシャルの場合も全く同様な結果が成立することを明らかにした。このソフトポテンシャルに対する結果は，摂動解がみたす線形化方程式の非線形項の評価を従来よりも精密にすることにより初めて可能となった。
空間一様なボルツマン方程式の弱解を確率測度の枠組みで，ハード，ソフトポテンシャルの両方の場合について，統一した方法で構成することに成功した。マクスウェル型と呼ばれる衝突積分項が衝突する２粒子の相対速度によらない特別な場合に，前年度までに得られていた結果を，ほぼすべて，より一般なハード，ソフトポテンシャルの両方の場合に明らかにした。具体的には，衝突積分項の角度因子が特異性をもつ自然な仮定のもとでは，エネルギー有界な初期値が１点のみのDirac 測度以外であれば，弱解の範囲を測度解に広げても必ず解の平滑効果が起こる（解が時間 t＞０で無限回微分可能な関数になる）ことを，ハードポテンシャルの場合は，モーメント獲得(gain)と呼ばれる性質をみたす解に対して，ソフトポテンシャルの場合は，任意のオーダーのモーメントが有限な解に対して，示すことができた。マクスウェル型で有効であった確率測度空間のフーリエ像に導入されるToscani型距離とそれを補完するために導入した距離が，一般な空間一様なボルツマン方程式にも適用可能であることを示したことは，今後の研究において意義があると思われる。
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
空間一様なボルツマン方程式の測度解の平滑効果に関しては目標をほぼ達成できた。実際，エントロピー有界を仮定しないで考察可能な衝突積分項に対する仮定のもと，エネルギー有界な初期値が１点のみのDirac 測度でなければ，弱解の範囲を測度解に広げても解が時間 t＞０で無限回微分可能な関数になることを明らかにした。マクスウェル型と呼ばれる衝突積分項が衝突する２粒子の相対速度にはよらない特別な場合は，エネルギー無限な初期値に対してさえも平滑効果が示された。また，測度解の構成については，フーリエ変換を経由して，従来のToscani 型距離とそれ補完するために導入した距離を用いて，ソフト，ハードポテンシャルの両方の場合に対して統一して取り扱うことができる方法を確立し，特にソフトポテンシャルの場合には，エネルギー無限な初期値に対してまで解の構成に成功した。
空間非一様なボルツマン方程式に対し，空間変数，速度変数について，従来よりも少ない微分可能性でマクスウエル分布の周りの摂動解の時間大域存在を示すことができた。これは，２粒子の衝突角度，相対速度，いずれに関しても特異性をもつボルツマン方程式の衝突積分項を少ない微分可能性で評価することで可能となったものであり，空間非一様なボルツマン方程式の弱解の regularity （正則性）の研究とも関連した成果である。
|
| Strategy for Future Research Activity |
本研究課題の最終年度の当初（５月末）に，外国人共同研究者並びに，ボルツマン方程式とそれに関連する超局所解析理論に精通する国内外の研究者を招き，国際研究集会を京都大学で開催する。これにより，共同研究者との従来の研究方針の確認と，新たな研究方法の可能性を探究する。
空間一様なボルツマン方程式の研究で有効であった解の速度変数に関するフーリエ像による特徴付けである Toscani 型距離とそれを補完する距離について, マクスウェル型のボルツマン方程式の研究で古く（1970年代）から用いられた Wasserstein 距離とその一般形である Monge-Kantorovich 距離との関連を明らかにする。
代表者は，香港城市大学，Rouen 大学等に赴き，２週間程度の共同研究を行う。
|
| Causes of Carryover |
海外での成果発表，共同研究について先方負担によるものが多数あり，２７年度については余裕が生じた。
|
| Expenditure Plan for Carryover Budget |
最終年度の当初（2016年5月）に，これまでの研究成果を振り返り，また新たな研究の進展への糸口を求めて，国際研究集会を京都大学数理解析研究所の後援のもと開催し，外国人共同研究者並びに，ボルツマン方程式とそれに関連する超局所解析理論に精通する国内外の研究者を招くために使用する。また，海外共同研究者との共同研究のため，招へいおよび海外渡航に使用する。
|
