2017 Fiscal Year Annual Research Report
The Boltzmann equation without angular cutoff and nonlinear microlocal analysis
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25400160
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
森本 芳則 京都大学, 人間・環境学研究科, 名誉教授 (30115646)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
清水 扇丈 京都大学, 人間・環境学研究科, 教授 (50273165)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | ボルツマン方程式 / 衝突積分項 / 非切断近似 / 平滑効果 / Wasserstein 距離 / Tosacani 型距離 / Debye・湯川ポテンシャル / 確率測度解 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
前年度と同様に空間一様なボルツマン方程式の確率測度解を、そのフーリエ像による特徴づけにより考察した。具体的には Monge-Kantorovich-Wasserstein 距離と同等な位相を与える（一般化された）Toscani 型距離を用いて解析した。特に、粒子間の長距離相互作用が Debye-湯川型の斥力ポテンシャルによる場合について、衝突積分作用素の積分核モデル（衝突断面積）をより自然な形で導出することに成功した。Debye-湯川型相互作用の場合、従来の逆べきポテンシャルから導出されるモデルと異なり、衝突断面積が粒子間の相対速度による因子と、衝突角度による因子との積の形には必ずしもならず、また衝突角度に関する特異性が多項式オーダーではなく、対数オーダーと弱いため、初期値問題の確率測度解を求め、その平滑化を示すには多くの技術的困難があった。
速度変数とその共役変数を衝突断面積の角度変数と相対速度の値に応じて、適切に分解する方法により、確率測度解の存在を示し、また初期値がエネルギー有界な密度分布関数の場合は、Debye-湯川型相互作用から導出される多くのモデルに対して解の平滑効果が生じることを明らかにした。初期値が単独ディラックマスではない、エネルギー有界な確率測度の場合も、Debye-湯川型相互作用の指数が高い場合には、解の平滑化を明らかにできた。しかしながら、本来のDebye-湯川相互作用ポテンシャルに対応する指数に対しては、衝突断面積がもつ対数オーダーの特異性が低すぎて確率測度解の枠組みでは未解決である。
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