2013 Fiscal Year Research-status Report
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25400161
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
砂川 秀明 大阪大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (80375394)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 非線形シュレディンガー方程式 / 漸近解析 |
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| Research Abstract |
本年度の研究成果は大きく分けて2種類に分類される。以下それぞれについての成果の概要を記す。
・空間2次元において2次の微分型非線形項を伴うシュレディンガー方程式系の零構造ついて考察し、質量共鳴下において漸近自由な時間大域的古典解が存在するための非線形項の形状に対する構造条件を与えた。今回得られた構造条件は、波動方程式（ダランベルシアン）に対してJohn、Klainerman、Chiristodoulou、Hormander等によって1980年代に導入された零条件（null condition）の、シュレディンガー方程式における自然な類似物と見なすことができる。（池田正弘氏・片山聡一郎氏との共同研究。）
・消散型非線形項を伴うシュレディンガー方程式系の小振幅解の時刻無限大における漸近挙動について考察し、係数に関する適当な条件下において減衰レートが真に改善されることを証明し、さらに、その正確な減衰レートの評価を与えた。単独の非線形シュレディンガー方程式に対しては下村明洋氏や北直泰氏等によって同様の結果が知られていたが、それらの手法は連立系に対しては適用できないものであった。これに対し、本研究において開発した手法は単独方程式に対しても連立系に対しても適用可能であり、下村氏・北氏等による先行結果の拡張と見なすことができる。（Chunhua Li氏・片山聡一郎氏と共同研究。）また、この手法の種々の応用可能性についての検討を行い、非線形消散項を伴うクライン・ゴルドン方程式系に対する解の減衰に関してこれまでに知られていた結果を拡張することに成功した。（Donghyun Kim氏との共同研究。）
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
微分型非線形シュレディンガー方程式系の零構造を明らかにできたこと、および非線形消散項を伴うシュレディンガー方程式系の解の減衰レートに関する結果を得られたこと等から判断して、おおむね順調に進展していると考えられる。
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| Strategy for Future Research Activity |
平成26年度は、非線形消散項を伴うシュレディンガー方程式系に関する研究を継続する。特に、25年度にChunhua Li氏・片山聡一郎氏との共同研究で得た結果を、微分型の相互作用を伴う非線形シュレディンガー方程式系の場合に拡張することを目指す。非線形項に未知関数の微分が含まれる場合には、一般に「可微分性の損失」と呼ばれる困難が生じるため、何らかの平滑化効果によって解の振る舞いをうまく制御する必要がある。ここに高周波漸近解析のアイディアを取り入れて既存の方法を改良することを今後の研究の出発点とする。
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