分散型方程式の解の性質

2013 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 25400162
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Research Institution: Osaka University
• Principal Investigator: 土居 伸一 大阪大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (00243006)
• Project Period (FY): 2013-04-01 – 2017-03-31
• Keywords: シュレディンガー作用素 / 解のエネルギー / 固有値

Research Abstract

分散型方程式は、KdV方程式、シュレディンガー方程式、薄板の方程式などを代表として含む偏微分方程式の重要なクラスであり、また着目する性質によってはスケール変換して考えることにより、双曲型方程式とも密接に関係していることが知られている。本研究では、線形分散型方程式、特にシュレディンガー方程式の解の諸性質を方程式の表象の幾何との関連から解明することを目標としている。
まず偏微分方程式の記述する波動現象と表象の幾何との関連を調べるため、特性根の多重度が一定である対称双曲型擬微分方程式系の発展方程式を考察し、マイナス１階の作用素を法とした解の表示式を用いることにより、解のエネルギーの初期値に関する一様増大度の下からの評価が、方程式の主表象の陪特性曲線と副主表象を用いて記述できることがわかった。これは弾性方程式やマクスウェル方程式などにも適用できると考えられる。
次に、ポテンシャルの零点集合が非有界であっても、零点集合の形状とそこから離れたときのポテンシャルの増大度によっては、シュレディンガー作用素のレゾルベントがコンパクトとなりうることに着目し、ポテンシャルの零点集合が必ずしも斉次ではない写像のグラフで表せる非有界集合であり、ポテンシャルがその零点集合からの距離に応じて増大していく場合に、シュレディンガー作用素のレゾルベントがコンパクトとなり、ワイル型とは限らない、固有値の漸近分布公式が成立することがわかった。

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

解のエネルギー評価や固有値の漸近分布に関しては一定の結果が得られたが、解の特異性に関しては予想以上に困難であり、まだ一定の結果が得られたという段階ではないため、全体としてはやや遅れているという評価となった。

Strategy for Future Research Activity

解の特異性に関しては、優２次的に増大するポテンシャルをもつシュレディンガー方程式の研究に取り組む予定である。これには１次元シュレディンガー作用素に対する谷島氏の結果をいかに多次元化するかが重要な課題である。次に捕捉された測地流をもつ完備リーマン多様体上のシュレディンガー方程式の研究に取り組む予定である。またこれと並行して滑らかな境界をもつ領域においてさまざま境界条件の下、シュレディンガー作用素を考え、レゾルベントがコンパクトとなり、非ワイル型の固有値の漸近分布が成り立つための十分条件を研究する予定である。

Expenditure Plans for the Next FY Research Funding

平成26年度に比較的規模の大きい研究集会を開催することが決まったため、平成25年度に開催する研究集会は小規模にとどめ、次年度に予算を回した。
他の研究者と協力して、8月に合宿形式の勉強会を開催し、11月に大津で研究集会を開催する予定である。そのため国内外の研究者の招聘旅費および会場費を支出する。また９月に大阪大学で開催予定の国際会議に協力する予定である。本研究課題に関係する国内の研究集会に参加し、研究交流・研究発表をしたり、また国内研究者を大阪大学に招き、研究打ち合わせするために国内旅費を支出する。研究に不可欠である解析学関係図書、数理物理学関係図書を購入するための費用を支出する。