分散型方程式の解の性質

2014 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 25400162
• Research Institution: Osaka University
• Principal Investigator: 土居 伸一 大阪大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (00243006)
• Project Period (FY): 2013-04-01 – 2017-03-31
• Keywords: 波動方程式 / シュレディンガー作用素 / 解のエネルギー

Outline of Annual Research Achievements

分散型方程式は、シュレディンガー方程式を典型例とする偏微分方程式の代表的なクラスであり、注目する性質によっては尺度を変えて考えることにより、一見すると別の偏微分方程式のクラスである双曲型方程式とも密接に関係していることが知られている。本研究では、線形分散型方程式、特にシュレディンガー方程式の解の諸性質を方程式の表象の幾何との関連から解明することを目標としている。
本年度は、偏微分方程式の記述する波動現象と表象の幾何との関連を調べるため、ユークリッド空間上の定数係数波動方程式に対し、主要部であるシュレディンガー作用素に、空間的にコンパクトな集合上で、時空間に依存する摂動を加えたものを考え、その摂動をもつ波動方程式の解作用素のノルムが、与えられた増大度をもつようにすることが可能であるかどうか考察した。これまで高々１次の指数的増大度の場合にしか、解作用素が丁度同じ増大度をもつような例が構成されていなかったが、今回、任意のｍ次の指数的増大度（ただしｍは１以上の実数）を含むような、より大きな増大度をもつ場合にも、解作用素が丁度同じ増大度をもつような例を構成することに成功した。証明の鍵は、特性曲線が空間的には周期的であるが、ハミルトニアン自身は陪特性帯に沿ってしかるべき増大度で無限大に発散し、さらに様々な技術的要請をみたすように主表象を構成することであり、それ以外の部分、つまり超局所解析的手法による解のエネルギーの下からの評価ならびに部分積分の方法による解のエネルギーの上からの評価は従来の方法に従った。

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

波動現象と表象の幾何に関しては一定の結果が得られたが、解の特異性に関しては予想以上に困難であり、一定の結果が得られたという段階ではないため、全体としてはやや遅れているという評価となった。

Strategy for Future Research Activity

解の特異性に関しては、優２次的に増大するポテンシャルをもつシュレディンガー方程式の研究を継続する予定である。また滑らかな境界をもつ領域においてさまざま境界条件の下、シュレディンガー作用素を考え、レゾルベントがコンパクトとなり、非ワイル型の固有値の漸近分布が成り立つための十分条件を、リーマン計量、境界作用素、領域の形状との関連で研究する予定である。

Causes of Carryover

平成26年度に開催または協力した研究集会で旅費の支出が予想外に抑えられたことと、学内業務のため出張を控えたことが主な理由である。

Expenditure Plan for Carryover Budget

昨年度に引き続き、他の研究者と協力して、8月に合宿形式の小研究会を開催し、11月に大津で研究集会を開催する予定である。そのため国内外の研究者の招聘旅費および会場費を支出する予定である。また本研究課題に関係する国内の研究集会に参加し、研究交流・研究発表をしたり、また国内研究者を大阪大学に招き、研究打ち合わせするために国内旅費を支出する。研究に不可欠である解析学関係図書、数理物理学関係図書を購入するための費用を支出する。