分散型方程式の解の性質

2015 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 25400162
• Research Institution: Osaka University
• Principal Investigator: 土居 伸一 大阪大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (00243006)
• Project Period (FY): 2013-04-01 – 2017-03-31
• Keywords: 解の特異性 / 境界値問題 / 正値対称偏微分方程式系

Outline of Annual Research Achievements

分散型方程式は、シュレディンガー方程式や薄板の方程式などを代表例とする偏微分方程式の重要なクラスであり、スケール変換して考えることにより、波動現象を記述する偏微分方程式のもう一つのクラスである双曲型方程式とも密接に関係していることが知られている。本研究では、線形分散型方程式、特にシュレディンガー方程式の解の諸性質を方程式の表象の幾何との関連から解明することを目標としている。
今年度は、偏微分方程式の記述する波動現象と表象の幾何との関連を超局所的な観点から調べるため、主表象が相異なる実固有値をもつような正値対称偏微分方程式系のあるモデルに対する境界値問題を考え、境界値の滑らかさと境界値問題の解の滑らかさの関係、特に境界値の特異性が境界値問題の解の特異性にどのように伝播するか解析し、以下に述べるような結果を得た。まず、モデルとなる境界値問題に対して、境界条件として与える関数に、境界条件としては与えない、解の境界値を対応させる作用素は、同じ指数のソボレフ空間の間の有界作用素であり、この作用素は異なる正準変換に付随する２種類のフーリエ積分作用素の有限個の合成を展開項とするような漸近展開をもつ。次に、解の特異性に関しては、粗く表現すると、境界条件として与える関数がある点で超局所的特異性をもてば、その点を通過し、境界で反射するような古典軌道上で解は超局所的特異性をもち、その超局所的特異性のソボレフ指数の意味でので強さは境界で反射するごとに弱くなる。この解析を精密化することにより、境界条件として与える関数の波面集合は１点からなるが、対応する解はいたるところ滑らかでないような例を構成することができる。

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

偏微分方程式の記述する波動現象と表象の幾何に関し、境界値問題のモデルに対しては一定の結果が得られたが、それ以外の部分に関しては予想以上に困難であり、一定の結果が得られたという段階ではないため、全体としてやや遅れているという評価となった。

Strategy for Future Research Activity

引き続き、滑らかな境界をもつ領域においてさまざま境界条件の下、シュレディンガー作用素を考え、レゾルベントがコンパクトとなり、非ワイル型の固有値の漸近分布が成り立つための十分条件を、リーマン計量、境界作用素、領域の形状との関連での研究する予定である。

Causes of Carryover

平成27年度に開催した研究集会での旅費や学外研究者との研究打ち合わせに必要な旅費が予想外に抑えられたこととが主な理由である。

Expenditure Plan for Carryover Budget

他の研究者と協力して、8月に合宿形式の研究会を開催し、11月に大津で研究集会を開催する予定であり、そのために国内外の研究者の招聘旅費および会場費を支出する。また本研究課題に関係する国内の研究集会に参加し、研究交流・研究発表をしたり、また国内研究者を大阪大学に招き、研究打ち合わせするために国内旅費を支出する。研究に不可欠である解析学関係図書、数理物理学関係図書の購入費を支出する。