分散型方程式の解の性質

2016 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 25400162
• Research Institution: Osaka University
• Principal Investigator: 土居 伸一 大阪大学, 理学研究科, 教授 (00243006)
• Project Period (FY): 2013-04-01 – 2018-03-31
• Keywords: シュレディンガー方程式

Outline of Annual Research Achievements

分散型方程式は、KdV 方程式、シュレディンガー方程式、薄板の方程式などを代表例とする偏微分方程式の重要なクラスであり、着目する性質によっては尺度を換えて考えることにより、一見すると異なる偏微分方程式のクラスである双曲型方程式とも密接に関係していることが知られている。本研究では、線形分散型方程式、特にシュレディンガー方程式の解の諸性質を方程式の表象の幾何との関連から解明することを目標としている。
ユークリッド空間上で、変数係数の主要部をもつようなシュレディンガー作用素に対して、ポテンシャルの零点集合が必ずしも斉次ではない写像のグラフで表せる非有界集合であり、ポテンシャルがその零点集合からの距離に応じて増大していく場合に、レゾルベントがコンパクトとなる十分条件、半古典的極限でワイル型とは限らない固有値の漸近分布公式が成立する十分条件について研究した。
ユークリッド空間上で優２次的に増大するポテンシャルをもつシュレディンガー方程式の解の特異性について研究した。１次元シュレディンガー方程式に関する谷島氏の結果の多次元版を目標としたが、多次元の場合は固有値・固有関数の詳しい性質が得られないため、予想以上に難しく、次年度も継続して取り組む予定である。
滑らかな境界をもつ非有界領域において適当な境界条件の下、シュレディンガー作用素を考え、レゾルベントがコンパクトとなり、非ワイル型の固有値の漸近分布が成り立つための十分条件を領域の形状との関連で研究中で次年度も継続して取り組む予定である。

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

退化したポテンシャルを持つ場合の固有値の漸近分布に関しては一定の結果が得られたが、それ以外の部分に関しては予想以上に困難であり、一定の結果が得られたという段階ではないため、全体としてやや遅れているという評価となった。

Strategy for Future Research Activity

引き続き、優２次的に増大するポテンシャルをもつシュレディンガー方程式の解の特異性や滑らかな境界をもつ非有界領域においてさまざま境界条件の下、シュレディンガー作用素を考え、レゾルベントがコンパクトとなり、非ワイル型の固有値の漸近分布が成り立つための十分条件を、リーマン計量、境界作用素、領域の形状との関連での研究する予定である。

Causes of Carryover

平成28年度に開催した研究集会での旅費や学外研究者との研究打ち合わせに必要な旅費が予想外に抑えられたこととが主な理由である。

Expenditure Plan for Carryover Budget

他の研究者と協力して、8月に合宿形式の研究会を開催し、11月に大津で研究集会を開催する予定であり、そのために国内外の研究者の招聘旅費および会場費を支出する。また本研究課題に関係する国内の研究集会に参加し、研究交流・研究発表をしたり、また国内研究者を大阪大学に招き、研究打ち合わせするために国内旅費を支出する。研究に不可欠である解析学関係図書、数理物理学関係図書の購入費を支出する。