2013 Fiscal Year Research-status Report
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25400163
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Research Institution | Kobe University |
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Principal Investigator |
赤木 剛朗 神戸大学, システム情報学研究科, 准教授 (60360202)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | 発展方程式 / 異常拡散 / 偏微分方程式 / 関数解析 |
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| Research Abstract |
【計画全体の目的】本研究では, 異常拡散を記述する幾つかの発展方程式に焦点を当て, それらの初期値問題に対する適切性(解の存在, 一意性, データ連続依存性), 正則性や対称性などの解の定性的性質, 解の漸近挙動等などを調べ, 各方程式・モデルの特徴を明らかにする. 更に個々の解析で有効な手法を確立する．
【H25年度の研究実績】(1)Fast Diffusion 方程式の解の漸近形の対称性と安定性の関係：ここでは非線形拡散方程式の一種である Fast Diffusion 方程式に焦点を当て，特に消滅解の漸近形の安定性と領域の対称性の関係について，幾つかのケーススタディを行った．その結果，球領域では球対称な漸近形が漸近安定になるが，ある条件を満たす円環領域では球対称な漸近形が不安定になることが明らかになった．またこれらの解析を通して，球対称な漸近形の対称性を破壊する Fast Diffusion Flow の構成法を確立した．これは Fast Diffusion 方程式の漸近形の安定性解析に必要な他，漸近形の特性方程式である Emden-Fowler 方程式の解の対称性の破れ(symmetry breaking)の証明にも応用することができる．また円環領域以外の領域に対しても，この手法が適用できることを例示した．
(2)変動指数を含む非線形拡散方程式の解析：不均質な多孔質媒体中の拡散を表す変動指数を含む二重非線形発展方程式の可解性を示すために効果的なフレームワークの構築を行った．既存の二重非線形発展方程式の枠組みを変動指数を含む非線形拡散方程式に応用する場合，不均一性を十分に反映することが困難であり，可解性を保証する十分条件を得る際に，大きなロスが生じていた．ここで得られた一般論ではその点を改善しており，より不均一性を反映した条件下で可解性を保証することが可能になった．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
(1)Fast Diffusion 方程式の解の漸近形の対称性と安定性の関係：当初予定されていた4項目のうち，Emden-Fowler方程式の最小エネルギー解の安定性の証明を除く3項目が達成されている．残った項目は，計画当初に見積もっていた以上に問題が難解であることが明らかになり，現在，その解決策を検討している．
また，H26年度に予定されていた計画の一部を先行して取り組み，成果を得ている．
(2)変動指数を含む非線形拡散方程式の解析：H26年度に予定されていた，変動指数を含む非線形拡散方程式の可解性に関する計画を達成した．
未達成項目と先行して成果を得た項目は同程度であり，研究計画の全体を見れば，概ね順調に進展していると言えよう．
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| Strategy for Future Research Activity |
(1)Fast Diffusion 方程式の解の漸近形の対称性と安定性の関係：未達成項目として残ったEmden-Fower方程式の最小エネルギー解の安定性について，さらに検討を進める．特に，力学系の軌道収束性の証明に用いられる Lojasiewicz-Simon 不等式を用いた手法が応用できないか検討する．
(2)変動指数を含む非線形拡散方程式の解析：変動指数を含む Allen-Cahn 型方程式の可解性に適用可能な一般論は存在しない．H25年度成果で得た知見を参考に，同方程式に適用可能な枠組みの構築を行う．また変動指数を含む非線形拡散方程式の解の漸近挙動いついて，解析する．
(3)非整数回微分作用素や分数冪ラプラシアンを含む拡散方程式の解析：分数冪ラプラシアンを含む Cahn-Hilliard 方程式の可解性，ある特異摂動問題について取り組む．
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
購入を予定していた書籍の発刊が延期となったため，そのために確保していた予算を次年度に持ち越した．
延期されていた書籍がH26年度に発刊され次第，購入する．
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[Presentation] On an irreversible diffusion equation2013
Author(s)
Goro Akagi
Organizer
Recent Advances in Partial Differential Equations and Applications
Place of Presentation
Dipartimento di Matematica, Università degli Studi di Milano, Italy
Year and Date
20130617-20130617
Invited
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