2013 Fiscal Year Research-status Report

完全非線形楕円型・放物型偏微分方程式の解の挙動および特異性の解析

Research Project

Project/Area Number	25400169
Research Category	Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
Research Institution	Hiroshima University
Principal Investigator	滝本和広広島大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (00363044)
Project Period (FY)	2013-04-01 – 2017-03-31
Keywords	完全非線形偏微分方程式 / 境界値問題 / 粘性解 / 解の存在と一意性 / 解析学
Research Abstract	本研究の目的は，非線形性が非常に強く，解析するための道具が少ないために取り扱いが困難である完全非線形楕円型・放物型偏微分方程式に対し，その境界値問題の可解性や解の挙動についての考察，および特異性の解析を行うことである。平成25年度に行った研究は下記の通りである。 (1) k次基本対称関数（k=1,…,n，ここでnは空間次元）により定まる曲率方程式（以下，k-曲率方程式と呼ぶ）について研究を行った。与えられた領域の境界に近づくとき解が正の無限大に発散するという境界条件（境界爆発条件）を課したk-曲率方程式について，粘性解のクラスにおける解の存在・非存在，および境界付近における解の挙動，さらに解の一意性に関して既に結果を得ていたが，今年度も引き続きそれらの研究を継続して行った。 (2) ある条件を満たす一般の完全非線形楕円型・放物型方程式の粘性解において，1つの等高面は常に除去可能であるという結果を既に得ているが，この定理の拡張について考察した。得られた研究結果をまとめた論文は投稿準備中である。 (3) 極小曲面に関してBernsteinは「R^2全体で定義された関数z=f(x,y)が極小曲面方程式を満たすならば，fはx,yに関する1次式である」という定理を証明した。我々はBernsteinの定理の類似物が，ある種の完全非線形偏微分方程式に対しても成立するかどうかを考察した。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason 満足した結果を得るまでには至らなかったが，順調に研究は進展していると考えている。
Strategy for Future Research Activity	引き続き，研究を遂行するため，完全非線形偏微分方程式などに関する先行研究の文献を調査し，国内外の非線形偏微分方程式論の研究者との研究討議を積極的に行う。
Expenditure Plans for the Next FY Research Funding	予定していた共同研究者との研究討議がキャンセルになってしまったものがあり，少々の余剰金が発生した。旅費および物品購入に関して適切に使用する。特に，平成26年度はスペインでの国際研究集会に参加して国外の研究者との研究討議を行う。