2014 Fiscal Year Research-status Report
完全非線形楕円型・放物型偏微分方程式の解の挙動および特異性の解析
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25400169
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| Research Institution | Hiroshima University |
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Principal Investigator |
滝本 和広 広島大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (00363044)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 完全非線形偏微分方程式 / 境界値問題 / 粘性解 / 解の存在と一意性 / 解析学 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は，非線形性が非常に強く，解析するための道具が少ないために取り扱いが困難である完全非線形楕円型・放物型偏微分方程式に対し，その境界値問題の可解性や解の挙動についての考察，および特異性の解析を行うことである。平成 26 年度に行った研究は下記の通りである。
(1) 極小曲面に関して Bernstein は「2 次元ユークリッド平面全体で定義された関数 z=f(x,y) が極小曲面方程式を満たすならば，f は x と y に関する 1 次式である」という定理を証明した。このような Bernstein 型定理の類似物が多くの偏微分方程式で成立することが期待されるが、放物型 k-Hessian 方程式と呼ばれる完全非線形偏微分方程式に対して Bernstein 型定理が成立することが分かった。この結果をまとめた論文が Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications 誌に掲載された。
(2) (1) の研究をさらに発展させ、より一般の完全非線形偏微分方程式に対しても Bernstein 型定理が成立するかどうかを考察しており，現在論文を投稿準備中である。
(3) ある条件を満たす一般の完全非線形楕円型・放物型偏微分方程式の粘性解において，1 つの等高面は常に除去可能であるという結果を既に得ているが，この定理の拡張について結果を得た。得られた研究結果をまとめた論文は現在投稿準備中である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
平成 26 年度は得られた研究成果をまとめた論文が学術雑誌に掲載されており，順調に研究は進展していると考える。
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| Strategy for Future Research Activity |
引き続き，研究を遂行するため，完全非線形偏微分方程式などに関する先行研究の文献を調査し，国内外の非線形偏微分方程式論の研究者との研究討議を積極的に行う。
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| Causes of Carryover |
予定していた共同研究者との研究討議が一部キャンセルになってしまい，少々の余剰金が発生した。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
旅費及び物品購入に関して適切に使用する。特に，平成27年度はイタリアでの国際研究集会に参加し，国内外の研究者との研究討議を行う。
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