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2013 Fiscal Year Research-status Report

熱弾性と熱弾塑性の数学解析

Research Project

Project/Area Number 25400172
Research Category

Grant-in-Aid for Scientific Research (C)

Research InstitutionEhime University

Principal Investigator

吉川 周二  愛媛大学, 理工学研究科, 准教授 (80435461)

Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) 黄木 景二  愛媛大学, 理工学研究科, 教授 (70281194)
Project Period (FY) 2013-04-01 – 2017-03-31
Keywords熱弾性 / 形状記憶合金 / 非線形偏微分方程式 / 相転移 / 塑性
Research Abstract

平成25年度は、形状記憶合金のFalkモデルの数値スキームの構成とその数学解析を主に行った。具体的には、まず定数温度の条件下でのFalkモデルの数値計算スキームの構成を研究した。この等温Falkモデルは歪みについての方程式としてみると一般化されたBoussinesq型方程式と同じ形をしている。この方程式に対して、降旗氏(大阪大)らによって考案された離散変分導関数法を用いたエネルギー保存則を引き継ぐ差分スキームは松尾氏(東京大)によって導出されている。ここでは、このスキームの近似解と厳密解の間の誤差評価を示した。ここで使った計算法を用いると他の方程式に対する既存の誤差評価結果の必要条件も若干改善できる。本研究は市川享祐氏(アーク情報システム)との共同研究である。
次に、等温の仮定を取り除いた元のFalkモデルの熱弾性方程式に対して、エネルギー保存・エントロピー増大・温度の正値性のすべてを満たすスキームを提案し、その解の存在を証明し、更に誤差評価も証明した。この結果でも、合金の変位と温度に対する方程式を歪みと温度に対する方程式に書き換えることで、見通しのよいシンプルな差分スキームを導出している。一方で歪みについての方程式を用いると、多次元問題などに直接応用することはできない点がこのスキームの欠点である。そこで、降旗氏の2階微分方程式に対するスキームの構成の方法をヒントにして、もとの合金の変位と温度に対する方程式についてもスキームを導出し、この結果をHoffmann-Zochowski(1998)の2次元モデルに適用し新たなスキームを導出した。
また、この結果はより一般の熱弾性方程式にも応用できることがわかった。

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

当初の研究計画と方向性は異なるが、解の挙動を知る上でのヒントが得られたため。

Strategy for Future Research Activity

解の挙動について研究計画で記した方法に加えて、本年度の研究手法を並行して考察する。

Expenditure Plans for the Next FY Research Funding

数学分野で共同研究を進める上では、共同研究者と直接向かい合って長い期間議論ができる研究環境が望ましい。研究協力者であるRacke教授(Konstanz大学)と研究代表者の所属先である愛媛大学工学部から、2014年度1年間弱のKonstanz大学への滞在に対して許可が得られた。本年度夏季にこの許可が得られ、対応して出張計画を一部変更したため、次年度使用額が生じた。
2013年度に生じた次年度使用額はKonstanz大学の滞在にかかる旅費として使用する。

  • Research Products

    (7 results)

All 2013

All Journal Article (3 results) (of which Peer Reviewed: 2 results) Presentation (4 results) (of which Invited: 2 results)

  • [Journal Article] An error estimate of conservative finite difference scheme for the Boussinesq type equations2013

    • Author(s)
      Shuji Yoshikawa
    • Journal Title

      北海道大学数学講究録

      Volume: 159 Pages: 29-35

  • [Journal Article] On the initial value problem of the semilinear beam equation with weak damping I: smoothing effect2013

    • Author(s)
      Hiroshi Takeda, Shuji Yoshikawa
    • Journal Title

      Journal of Mathematical Analysis and Applications

      Volume: 401 Pages: 244-258

    • DOI

      10.1016/j.jmaa.2012.12.015

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Asymptotic profiles of solutions for the isothermal Falk-Konopka system of shape memory alloys with weak damping2013

    • Author(s)
      Hiroshi Takeda, Shuji Yoshikawa
    • Journal Title

      Asymptotic Analysis

      Volume: 82 Pages: 331-372

    • DOI

      10.3233/ASY-2012-1148

    • Peer Reviewed
  • [Presentation] A conservative finite difference scheme for the Falk model system of shape memory alloys2013

    • Author(s)
      吉川周二
    • Organizer
      第3回 弘前非線形方程式研究会
    • Place of Presentation
      弘前大学
    • Year and Date
      20131118-20131119
    • Invited
  • [Presentation] An error estimate of conservative finite difference scheme for the Boussinesq type equations2013

    • Author(s)
      Shuji Yoshikawa
    • Organizer
      The 38th Sapporo Symposium on Partial Differential Equations
    • Place of Presentation
      Hokkaido University
    • Year and Date
      20130821-20130823
    • Invited
  • [Presentation] An error estimate of the conservative finite difference scheme for the isothermal Falk model of shape memory alloys2013

    • Author(s)
      吉川周二
    • Organizer
      福岡工業大学数学小研究集会
    • Place of Presentation
      福岡工業大学
    • Year and Date
      20130712-20130712
  • [Presentation] Error estimates of the conservative finite difference scheme for the Boussinesq type equations2013

    • Author(s)
      吉川周二
    • Organizer
      京都大学数理解析研究所 共同研究「線形および非線形分散型方程式の研究」
    • Place of Presentation
      京都大学
    • Year and Date
      20130520-20130523

URL: 

Published: 2015-05-28  

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