2013 Fiscal Year Research-status Report
非線形分散型方程式に現れるパターンの安定性解析，特に平面孤立波の研究
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25400174
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Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
水町 徹 九州大学, 数理(科)学研究科(研究院), 准教授 (60315827)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | line soliton / KP-II / KdV |
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| Research Abstract |
KP-II方程式は浅い水面波の運動を記述する空間2次元の完全可積分系のモデルであり，直線状の波形が交差する様子を記述する特殊解(multi-line soliton)を持つ．KP-II方程式無限個の保存量を持つものの，ハミルトニアンやさらに高次の保存量の主要部が不定であるため，変分構造を用いて安定性を証明することは難しい．またKdV方程式や水平方向に周期性を課したKP-II方程式の場合，可積分系の方程式が持つベックルンド変換がソリトン解の近傍と自明解の近傍の同型写像を与えるが，全平面でKP-II方程式を考える場合は，ベックルンド変換の線形化作用素は無限次元の核と余核を持ち，同様の性質は期待出来ない．
本年度は主として2-line soliton解の安定性の研究に取り組んだ．二本のline solitonの高さと位相のずれを記述する４つの未知関数の偏微分方程式系によって記述されると予想されるが，解の挙動の主要部を記述する線形化作用素の4本の連続スペクトルを線形化Miura変換の核を計算することで求めた．
またTzvetkov氏との共同研究で，KdV方程式の1-soliton解の２乗可積分な空間での安定性を方程式の変分構造や可積分性を使わずに，その重み付空間における強線形安定性を使って証明した(可積分構造を用いたMerle-Vega '03の別証明)．Pego-Weinstein'94がソリトン解の線形安定性を使って重み付空間におけるKdV方程式のソリトン解の証明しているが，Tzvetkov氏との共同研究では，解をソリトン解の周辺の部分と伝播速度の遅い部分に分けて調べることで重みなしの２乗可積分な空間での安定性を証明できた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
2-line solitonは二つの平面進行波が交差する形状であり，1-line solitonの場合と異なりその線形化作用素がポテンシャルが２変数に真に依存する．そのため，2-line solitonのまわりでの線形化方程式と1-line solitonのまわりでの線形化方程式を結びつけるは線形化ベックルンド変換のポテンシャルも２変数関数になる．可積分系特有な構造から，求積可能な一変数のポテンシャルに書き換えることには成功したが，線形化ベックルンド変換は当初期待したほど良い位相的性質を持っていないように思われる．
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| Strategy for Future Research Activity |
2-line soliton解の線形安定性を適切な重み付空間を導入して証明することを最初の目標とする．
また２５年度にKdV方程式の２乗可積分なルベーグ空間で証明した方針に沿って，KP-IIのline soliton解の安定性を重みなしの関数空間で証明することを試み，
同時に非可積分系の長波長近似モデルの平面孤立波の安定性を研究する．
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
当該年度は当初計画よりも研究成果発表のための出張の機会が多く，物品の購入や出張旅費を校費から支出し，海外出張の一部は他の研究者の研究計画の一部として行った．これらの好意の結果，逆に当初予定よりも支出額が少なくなった．
九州関数方程式セミナーで講演をお願いする際の旅費
もしくは京都大学などのセミナーに参加する旅費として支出する．
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Research Products
(5 results)
